A4901 − Jeux de bascule

A4901 − Jeux de bascule

Q₁ Zig écrit une suite croissante S₁ de n entiers consécutifs strictement positifs qui contient exactement un carré parfait. Il met le signe "+" devant ce carré et tous les entiers qui le précédent et le signe "−" devant tous les autres entiers. Il constate que la somme de tous les termes est nulle.

Déterminer la plus petite valeur possible de n ainsi que les termes correspondants de la suite S₁.

Q₂ Il écrit ensuite sur une même ligne la suite croissante S₂ des n entiers naturels consécutifs en partant de l'entier 1 auquel il affecte le signe "+" puis il place devant chaque entier le même signe ("+ ou "−") que celui de l'entier précédent avec la seule particularité de changer de signe après l'écriture d'un carré parfait. Les premiers termes de S₂ sont alors : + 1, −2, − 3, − 4, + 5, + 6, + 7, + 8, + 9, − 10, − 11, etc... Il calcule en même temps sur une deuxième ligne le cumul C(n) des entiers relatifs qu'il a écrits : + 1, − 1, − 4, − 8, − 3, + 3 , + 10 etc...

a) n est un carré parfait, n = p². Déterminer la valeur de C(n) en fonction de p. Application numérique: p = 2018 puis p = 2019.

b) Zig arrête ses calculs quand il observe que le cumul C(n) est égal à + 76971 pour la première fois. Déterminer la valeur de n.

c) Pour les plus courageux disposant d'un automate : déterminer les valeurs de n, de p et de q (q >

p > 0) telles que Zig observe pour la première fois C(n) = C(n + p) = C(n + q) > 0.

Solution par Patrick Gordon Q₁

Notons a et b les extrémités de la suite S₁ et N le carré parfait unique qu'elle contient (a ≤ N ≤ b).

La sous-suite "+" va de a à N, a donc (N–a+1) termes et pour somme (N–a+1) (N+a) / 2.

La sous-suite "–" va de N+1 à b, a donc (b–N) termes et pour somme (N+b+1) (N–b) / 2.

On a donc :

(N–a+1) (N+a) + (N+b+1) (N–b) = 0 soit encore :

N² + N – a² + a + N² + N – b² – b = 0 N doit donc être solution de l'équation :

2N² + 2N – (a² + b² – a + b) = 0 Le discriminant réduit

D' = 1 + (a² + b² – a + b)

doit donc être un carré parfait et N = (√D' – 1) / 2 doit l'être aussi.

Ainsi, pour a = 11 et b = 34, on trouve √D' = 51, d'où N = 25, qui est bien un carré parfait.

Mais ce n'est pas une solution car 25 n'est pas le seul carré parfait entre 11 et 34.

En revanche, pour a = 146 et b = 190, on trouve √D' = 339, d'où N = 169, qui est bien un carré parfait et c'est le seul carré parfait entre 146 et 190.

La suite S₁ correspondante (de 146 à 190 tous deux inclus) a n = 190 – 146 + 1 = 45 termes.

Q₂

Calculons tout d'abord la somme des termes de la séquence [k²+1, (k+1)²], affectée du signe – ou + selon que k est impair ou pair.

Cette séquence a (2k+1) termes et sa somme Tk, de (k²+1) à (k+1)² vaut donc : T_k = (2k+1) [(k²+1) + (k+1)²] / 2 = 1 +3k + 3k² + 2k³

Q₂ a)

Si n est un carré parfait = p², C(n) est la somme alternée des Tk de k = 0 (avec T₀ = 1) à k = p–

1, en commençant par – T₁.

C(n) est donc égal à 1 + la somme de 4 séries alternées :

– 1 + 1… + (–1)^p-1

+ 3 [– 1 + 2… + (–1)^p-1(p–1)]

+ 3 [– 1 + 4… + (–1)^p-1(p–1)²]

+ 2 [– 1 + 8… + (–1)^p-1(p–1)³]

1) la série alternée – 1 + 1… + (–1)^p-1

Sa somme vaut – 1 si p est pair, 0 si p est impair.

2) la série alternée – 1 + 2… + (–1)^p-1(p–1)

Sa somme vaut (p–1)/2 si p est impair, –p/2 si p est pair.

Ces valeurs devront être multipliées par 3.

3) la série alternée – 1 + 4… + (–1)^p-1(p–1)² Sa somme vaut (–1)^p-1 (p–1)p / 2

Ces valeurs devront être multipliées par 3.

4) la série alternée – 1 + 8… + (–1)^p-1(p–1)³

On ne trouve pas aisément dans la littérature de formule donnant directement la somme alternée des cubes des premiers entiers. On trouve toutefois des formules donnant la somme des cubes des m premiers entiers impairs et celle des cubes des m premiers entiers pairs. En les combinant, on trouve :

– 1³ + 2³ – 3³ + 4³ – 5³ + ………– (2m−1)³ + (2m)³ = 4m³ + 3m² – 1³ + 2³ – 3³ + 4³ – 5³ + ………– (2m−1)³ = – 4m³ + 3m² Soit, avec la notation p :

 Si p est impair = 2m+1, on est dans le 1^er cas et la somme de la série alternée des cubes de – 1 à (–1)^p-1(p–1)³ vaut :

4 (p–1)³ /8+ 3(p–1)²/4 = (2p + 1) (p–1)²/4

 Si p est pair = 2m, on est dans le 2^ème cas et la somme de la série alternée des cubes de – 1 à (–1)^p-1(p–1)³ vaut :

– 4p³/8 + 3p²/4 = (3 – 2p) p²/4 Ces valeurs devront être multipliées par 2.

Soit au total (sans oublier le T₀ = 1) :

 si p est pair

C(n) = 1 – 1 – 3p/2 – 3(p–1)p/2 + 2(3 – 2p) p²/4

= ¼ (– 6p² + 6p² – 4p³) = – p³ On trouve bien :

C(2²) = – 2³ = – 8 C(4²) = – 4³ = – 64 C(6²) = – 6³ = – 216

…

 si p est impair

C(n) = 1 + 0 + 3(p–1)/2 + 3(p–1)p/2 + (2p + 1) (p–1)²/2

= 1 + ½ (3p² – 3 + 2p³ – 4p² + 2p + p² – 2p + 1)

= 1 + ½ (2p³ – 2) = p³ On trouve bien :

C(3²) = 3³ = 27 C(5²) = 5³ = 125 C(7²) = 7³ = 343

…

En conclusion, si n = p², carré parfait, C(n) = p³ si p est impair, – p³ si p est pair.

Application numérique :

- pour p = 2018, C(n) = – 2018³

- pour p = 2019, C(n) = + 2019³ Q₂ b)

Pour que + 76971 soit atteint, il faut qu'il existe p et n (> p²) tels que : C(n) = C(p²) + (–1)^p [somme des entiers de p²+1 à n] = 76971 Or

C(p²) = – (–1)^p p³

[somme des entiers de p²+1 à n] = (n + p² + 1) (n – p²) / 2 On cherche donc p et n (> p²) tels que :

C(n) = – (–1)^p p³ + (–1)^p (n + p² + 1) (n – p²) / 2 = 76971 Soit encore :

C(n) = (–1)^p [– 2p³ + (n + p² + 1) (n – p²)] / 2 = 76971 C(n) = (–1)^p [n(n+1) – p² (p+1)²] / 2 = 76971

Soit à rechercher pour quelles valeurs de p l'équation en n : C(n) = (–1)^p [n(n+1) – p² (p+1)²] / 2 = 76971

soit :

[n(n+1) – p² (p+1)²] = (–1)^p 2×76971 n² + n – p² (p+1)² – (–1)^p 2×76971 = 0

a des racines entières n > p².

Posant :

N = p² (p+1)² + (–1)^p 2×76971

il faut à tout le moins que 4N + 1 soit un carré parfait.

La première solution rencontrée est p = 44, avec √(4N+1) = 4037 et n vaut alors : n = (4037 – 1) / 2 = 2018

qui est compris entre p² = 44² et 45².

2018 est donc le nombre cherché.