PETIT GUIDE DE CALCUL DIFFÉRENTIEL (F. Rouvière, Cassini 2003)
ERRATA À LA DEUXIÈME ÉDITION (mis à jour le 1 février 2008)
"ligne n" = n-ème ligne à partir du haut de la page
"ligne -n" = n-ème ligne à partir du bas.
On ne donne ici que la version corrigée du texte.
p. 29, ligne -6 :R 1AR = 0 0 p. 34, ligne 20 : (u)n= (un) kunk p. 39, ligne -6 : etU un ouvert deE.
p. 84, ligne 15 :Pn i=1
@ui
@xi(x)
p.102, ligne 10 :f0 étant positive et décroissante p.103, dernière ligne :vn=Rn+1
n
sin(lnx) x dx.
p.109, ligne -11 : (ii) les di¤érentielles Dfk(x) convergent dans L(E; F), uniformément pourx2U.
p.112, ligne 9 : dxd R
Jf(x; t) dt =R
J
@f
@x(x; t) dt . p.112, ligne 15 :R
J'(t) dt <1 . p.114, ligne 8 : majorer j@f =@xj p.114, ligne -2 : @@x(u; v; x) =Rv u
@f
@x(x; t) dt p.116, ligne 16 : un plus court chemin p.117, ligne -8 : segment [ ; ]
p.142, ligne 5 :j(F 1)0(a)j= 1=jF0(a)j<1 p.146, ligne 2 : pour x >0
p.156,ligne -3 : supprimer ceux du milieu...
p.159, ligne -7 :(kn+kn+1+ +kn+p 1) p.159, ligne -6 :n 0,p 1
p.166, ligne 9 : on entrevoit en 3 p.169, ligne 4 : inférieure ou égale à 1
p.170,ligne -12 : des fonctions t7!y(t) continues de I dans Rm, p.199, ligne 14 : un domaine de validité
p.213,ligne -4 :kDF(x)k "pourkxk r p.215,ligne 11 :kxk r entraînekDF(x)k ";
p.216, ligne -12 :kxk r entraîne Df(0) 1f(x) (1 +")r . p.217, ligne 5 :f 1 est lipschitzienne surW.
p.224,lignes 13 et 14 : le rang est au moinsr en tout pointxassez proche de a.
p.224, ligne -9 : son noyau est un sous-espace p.246, ligne -5 : (contenu dans V0)
p.266,ligne -3 :fz0(a; b; c)6= 0.
p.271, ligne -9 :Z = 0(a)X
p.276, ligne -2 : SiY est donné dansS p.310, ligne5 :!T (d!T =ds) = 0
p.344,…gure 153 :e t (et non1) en ordonnée du second graphe p.354, ligne -12 :x7!X =I+x
p.372, ligne 12 : ce minimum est nul ouf est constante surU; p.374,lignes -4 et -3 :f( + 0; + 0) f( ; ) =P
i( 0xi+ 0)2 0 , p.377, dernière ligne :cos
p.387, lignes -5 et -4 : ... sur un intervalle]c "; c+"[. Le raccord des fonctionsx ety et de leurs deux premières dérivées ent=c permettrait ainsi de prolongerxen une solution de (*) sur l’intervalle]b; c+"[, ce qui contredirait la dé…nition de c.
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REMARQUES
p.116, Exercice 41. Il serait mieux de dire "un plus court chemin" plutôt que "le plus court chemin", car il n’y a pas en général unicité d’un chemin de longueur minimale.
Pour la norme "de Manhattan" k(x; y)k1 = jxj+jyj dans le plan il y a en e¤et une multitude de trajets possibles pour aller du point (0-ème rue,0-ème avenue) au point (p-ème rue, q-ème avenue) en empruntant rues et avenues de New-York, tous de longueur minimale k k1 =p+q. On peut noter aussi que tout chemin continûment dérivable (t) = (x(t); y(t)), avec a t b, (a) = , (b) = et x(t),y(t) fonctions croissantes, a pour longueur (question 4)
L= Z b
a
(x0(t) +y0(t))dt= (x(b) x(a)) + (y(b) y(a)) =k k1 .
Mais le segment de droite est bien l’unique plus court chemin dans le cas familier de la norme euclidienne k(x; y)k2 = p
x2+y2 : si passe par un point hors du segment [ ; ]on a
L k k2+k k2 >k k2 ;
cette inégalité triangulaire stricte se véri…e par le théorème de Pythagore, en considérant la projection orthogonale de sur[ ; ].
p.162,lignes -6 et suivantes.On peut simpli…er la …n de la démonstration, en remplaçant
"Pour en déduire F(a) =a..." par :
CommeF est continue surX on alimF(an) =F(a) d’où
a= liman= limFn(an) = lim(1 tn)F(an) +tnx0=F(a) , doncaest un point …xe deF.
p.174.Voici (d’après R. Brown, Bull. Amer. Math. Soc. 41, April 2004, p.267) une va- riante pour parvenir au résultat de la question 4 sans passer par 2 et 3 : un meilleur choix de norme conduit directement à une application contractante.
Soit donc à résoudre le système di¤érentiel
y0 =f(t; y) ,y(t0) =x
sur un intervallecompact I, la fonction f étantk-lipschitzienne en y. En notant F(y)(t) =x+
Z t
t0
f(s; y(s)) ds
le problème équivaut, d’après la question 1, à la recherche d’un point …xe deF sur l’espace E des fonctions continues surI, c’est-à-dire y2E etF(y) =y.
Munissons E de la norme
kykk= max
t2I e kjt t0jky(t)k ,
au lieu de la norme classique maxt2Iky(t)k. Soit ` la longueur de l’intervalle I. Comme e k` e kjt t0j 1 pourt2I, la nouvelle norme est équivalente à l’ancienne, et l’espace E est encore complet. Pour y; z 2E,t2I ett t0 on a
F(y)(t) F(z)(t) = Z t
t0
(f(s; y(s)) f(s; z(s)))ds , 2
d’où
e k(t t0)kF(y)(t) F(z)(t)k e k(t t0) Z t
t0
kf(s; y(s)) f(s; z(s))kds e k(t t0)
Z t
t0
kky(s) z(s)kds e k(t t0)
Z t
t0
kek(s t0)ds ky zkk
1 e k(t t0) ky zkk . Pour t2I ett t0 on obtient de même, en prenant soin d’écrire Rt0
t plutôt que Rt t0 dans les majorations,
ek(t t0)kF(y)(t) F(z)(t)k 1 ek(t t0) ky zkk .
Pour toutt2I on a donce kjt t0jkF(y)(t) F(z)(t)k 1 e kjt t0j ky zkk d’où, en passant aumax sur I,
kF(y) F(z)kk 1 e k` ky zkk .
Ainsi F est contractante sur E muni de la norme k:kk et, par le théorème du point …xe, le problème posé admet une solution unique.
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