Calcul mental et calcul en ligne
Comment organiser la progressivité des
apprentissages? Comment penser l’articulation
entre ces différents types de calcul ?
Questions…
Quels sont les liens entre calcul en ligne et et calcul mental ?
Comment penser l’articulation entre ces différents types de calcul ?
Comment organiser la progressivité des
apprentissages ?
Calcul mental et calcul en ligne
Quels sont les enjeux ?
Enseigner des procédures de calcul ?
Variations du jeu du furet
Selon quelle progressivité ? Lesquelles ? Comment les relier entre-elles ?
Quels liens avec l’apprentissage des tables?
Un exemple pour une première mise en situation
18 x 15
1- Calculer 18 x 15
Procédures possibles Connaissances à activer
2- Lister les différentes procédures (de calcul mental) pouvant être mise en œuvre.
Les écrire sous forme d’une suite de calculs à effectuer:
18 x 15 = ……. = …….
Pour chacune des procédures,
indiquer les différentes « connaissances à activer »
P1: Décomposition du 18. Connaissances à activer
18 x 15 = (10 + 8) x 15
= (10 x 15) + (8 x 15)
Décompositions additives - Distributivité Multiplier par 10 - Commutativité
Double
Règle: multiplier par 8 c’est doubler trois fois
P2: Décomposition du 15. Connaissances à activer
18 x 15 = 18 x (10 + 5) Décompositions additives - Distributivité Multiplier par 10
Moitié
Règle: multiplier par 15 c’est multiplier par 10 et ajouter la moitié.
Calcul mental et calcul en ligne - Enjeux
Quelques procédures possibles
18 x 15
18 x 15
P3: Raccrochage à 20 car doubler c’est facile…
Connaissances à activer 18 x 15 = (20 - 2) x 15
= 300 - 30
Décompositions soustractives - Distributivité Décomposition multiplicative
Multiplier par 10 - Commutativité Double – compléments à 10
Calcul raisonné….
Quelques procédures possibles
18 x 15
P4: Double et moitié, ici c’est facile
Connaissances à activer 18 x 15 = 9 x 2 x 15
= 9 x 30
Décompositions multiplicatives ; Double, moitié; multiplier par 10 ;
Associativité ; connaissance des tables ; Calcul raisonné…
Calcul mental et calcul en ligne - Enjeux
Quelques procédures possibles
Lien avec le contenu sur l’apprentissage des tables de multiplication, les tables à l’envers, ou la notion de multiple de….
18 = 9 x 2
18 x 15
P5: Il y a un 10 et multiplier par 10, c’est facile
Connaissances à activer
18 x 15 = 9 x 2 x 3 x 5
= 10 x 27
Décompositions multiplicatives ; Multiplier par 10 ; commutativité ; associativité
Calcul raisonné….
Quelques procédures possibles
Lien avec le contenu sur l’apprentissage des tables de multiplication, les tables à l’envers, ou la notion de multiple de….
Faire apparaitre « un 2 » et « un 5 » car « multiplier par 10, c’est facile »
Calcul mental et calcul en ligne - Enjeux
Eléments de didactique à propos du calcul mental
Parmi ces procédures, certaines sont induites par les nombres choisis, d’autres non.
P1 P2 P3 P4 P5
18 x 15 = (10 + 8) x 15 = (10 x 15) + (8 x 15)
18 x 15 = 18 x (10 + 5)
18 x 15 = (20 - 2) x 15 = 300 - 30
18 x 15 = 9 x 2 x 15 = 9 x 30
18 x 15 = 9 x 2 x 3 x 5 = 10 x 27
Adaptation aux nombres choisis Pas d’adaptation nécessaire
Distinguer celles qui témoignent :
d’une adaptation et celles qui peuvent relever d’automatismes.
Déplacement de l’attention Flexibilité mentale Mémorisation
Eléments de didactique à propos du calcul mental
Parmi ces procédures, certaines sont induites par les nombres choisis, d’autres non. Distinguer celles qui témoignent d’une adaptation et celles qui peuvent relever d’automatismes
.
P1 P2 P3 P4 P5
18 x 15 = (10 + 8) x 15 = (10 x 15) + (8 x 15)
18 x 15 = 18 x (10 + 5)
18 x 15 = (20 - 2) x 15 = 300 - 30
18 x 15 = 9 x 2 x 15 = 9 x 30
18 x 15 = 9 x 2 x 3 x 5 = 10 x 27
Adaptation aux nombres choisis Adaptation possible pour les
calculs intermédiaires
Calcul mental et calcul en ligne
Que retenir ?
Enseigner des procédures de calcul, avec un réflexion sur :
pour quels nombres une procédure est intéressante à réaliser….
Que retenir?
• Avoir un regard sur les nombres…,
• (Re) travailler, consolider les faits numériques mémorisés,
• (Re) travailler, consolider les décompositions multiplicatives des nombres (les tables à l’envers )
Compléter ce nouveau calcul à proposer aux élèves…
Quel nombre choisissez-vous?
18 x …….
Quelle relation a le nombre choisi avec 18 ?
Quelle caractéristique doit avoir le nombre choisi pour permettre de mobiliser des stratégies multiplicatives ? Quelle est la caractéristique du nombre 18 ?
Calcul mental et calcul en ligne -Enjeux
Que retenir?
Compléter ce nouveau calcul à proposer aux élèves…
Quel nombre choisissez-vous?
15 x …….
Quelle relation a le nombre choisi avec 15 ?
Quelle caractéristique doit avoir le nombre choisi pour permettre de mobiliser des stratégies multiplicatives ? Quelle est la caractéristique du nombre 15 ?
Enseigner des procédures de calcul, avec un réflexion sur :
pour quels nombres une procédure est intéressante à réaliser….
Que retenir?
Progressivement, il sera possible de proposer aux élèves…
nombre pair x multiple de 5 A condition d’institutionnaliser …
A quel moment est-il intéressant de mobiliser telle ou telle procédure ?
Développer la flexibilité de regard sur les nombres
Vers l’intelligence du calcul….
Enseigner des procédures de calcul, avec un réflexion sur :
Calcul mental et calcul en ligne -Enjeux
Que retenir?
32 x 25
Un autre exemple à proposer en formation:
Faire identifier la caractéristique de ce produit : Multiple de 4 x 25
Après avoir institutionnalisé et mémorisé que 4 x 25 = 100 Multiplier par 100, c’est facile…
8 x 4 x 25 8 x 100
➢ Demander aux enseignants de proposer d’autres produit par 25 25 x 4 = 100
Que retenir?
L’enjeu : Calculer mais pas seulement !
Déplacement de l’attention Savoir s’adapter aux nombres donnés
Flexibilité mentale Procédures mobilisant des décompositions adaptées au calcul
Mémorisation La progression dans cette hiérarchie peut
être accélérée par l’enseignant, elle est quasi inexistante pour les élèves en difficulté
Travaux de Denis Butlen
Calcul mental et calcul en ligne - Enjeux
Extrait des programmes…
Le calcul, dans toutes ses modalités, contribue à la connaissance des nombres.
Ainsi, même si le calcul mental permet de produire des résultats utiles dans différents contextes de la vie quotidienne, son enseignement vise néanmoins prioritairement l’exploration des nombres et des propriétés des opérations.
Il s’agit d’amener les élèves à s’adapter en adoptant la procédure la plus efficace en fonction de leurs connaissances mais aussi et surtout en fonction des nombres et des opérations mis en jeu dans les calculs
.
A retenir…
« Le calcul mental est un calcul sur les nombres plutôt que sur les chiffres » (Boule, 1997)
- Les procédures de calcul mental varient selon les nombres en jeu. Ex : 18x5, je calcule 20x5 ...etc..
- Les techniques opératoires sont des algorithmes
indépendants des nombres auxquels ils s’appliquent et dont ils ne prennent en compte ni l’ordre de grandeur, ni les
propriétés mathématiques. Ex: 5 fois 8 quarante, 0 et je
retiens 4, 5 fois 1 cinq et 4 neuf .
Calcul mental et calcul en ligne - Enjeux
Quid du calcul en ligne ?
Le calcul en ligne est une modalité de calcul écrit ou partiellement écrit.
Il se distingue à la fois :
- du calcul mental, en donnant la possibilité à chaque élève, s’il en ressent le besoin, d’écrire des étapes de
calculs intermédiaires qui seraient trop lourdes à garder en mémoire ;
- du calcul posé, dans le sens où il ne consiste pas en la
mise en œuvre d’un algorithme indépendant des nombres en jeu.
Eduscol
calculs multiplicatifs…
Quelle démarche?
Installer de nouveaux faits numériques
avec une pratique régulière du calcul mental Amener les élèves à restituer des faits mémorisés
sans avoir à les reconstruire à chaque fois.
procédures plus riches et rôle de
modules de calcul intégrés
procédures élémentaires
de calcul
264 x 5
Pour multiplier par 5:
je multiplie par 10 et je calcule la moitié
132
Connaissances qui les rendent encore plus
habiles pour de nouveaux calculs
Calcul mental,
calculs multiplicatifs…
Procédures élémentaires automatisées
Dynamique favorisant les apprentissages numériques Procédures de calcul plus économiques
Explorer de nouvelles propriétés des nombres et
des opérations
Connaissances plus riches
calculs multiplicatifs…
Une activité de référence:
le jeu du Furet
Calcul mental,
calculs multiplicatifs…
Une activité de référence: le jeu du Furet
Un jeu que l’on peut faire varier de la GS au CM2 Variables possibles:
Compter de « n » en « n »
De combien en combien compte-t-on ? En croissant, en décroissant
A partir de quel nombre ?
Vers le cycle 3:
Compter de 0,1 en 0,1, de 0,2 en 0,2 Compter de 0,5 en 0,5, de 1,1 en 1,1, ….
calculs multiplicatifs…
Une activité de référence qui peut contribuer à développer les compétences des élèves dans les décompositions multiplicatives Compter de 7 en 7
7 – 14 – 21 ….
Aller au-delà de 10 itérations, s’arrêter, trouver de quel multiple il s’agit 91 = 70 + 21 = 7x10 + 7x3
13 x 7
84
12 x 7
= 42 + 42 = 7x6 + 7x6
Tables difficiles à mémoriser
+3+4 +6+1
= 70 + 14 = 7x10 + 7x2
ou
Calcul mental,
calculs multiplicatifs…
Une activité de référence qui peut contribuer à développer les compétences des élèves dans les décompositions
additives et soustractives Compter de 7 en 7
266 - ….
+ 4 + 3
+7 ?
Selon le moment du jeu, les compétences à mobiliser pour dire le suivant ne sont pas les mêmes..
+ 10 - 3
calculs multiplicatifs…
Une activité de référence qui peut contribuer à développer les compétences des élèves dans les décompositions
additives et soustractives Une variante : TIC …BOUM Compter de 1 en 1,
Si le nombre contient le chiffre 7 : dire TIC Si le nombre est un multiple de 7; dire BOUM
1 – 2 – 3 - 4 – 5 – 6 – Tic Boum – 8 – 9 – 10 – 11- 12 – 13 – Boum – 15- 16 – TIC – 18 – 19 – 20 - BOUM – 22 - 23 – 24 – 25 – 26 – TIC – BOUM – 29 – 30 – 31 – 32 – 33 – 34 – BOUM – 36 – TIC – 38 – 39 – 40 – 41 – BOUM – 43 – 44 – 45 – 46 – TIC – 48 – BOUM – 50 – 51 - 52 – 53 – 54 – 55 – BOUM – TIC – 58 – 59 – 60 – 61 – 62 – BOUM – 64 – 65 – 66 – TIC – 68 – 69 – TIC BOUM – TIC – TIC – TIC – TIC – TIC – TIC – TIC TIC BOUM – TIC – TIC – 80 -
Travailler la notion de multiple
Calcul mental,
calculs multiplicatifs…
Une activité de référence qui peut contribuer à développer les compétences des élèves dans les décompositions
additives et soustractives Une variante : TIC …BOUM Compter de 1 en 1,
Si le nombre contient le chiffre 3 : dire TIC Si le nombre est un multiple de 3; dire BOUM
1 – 2 – TIC-BOUM - 4 – 5 – BOUM – 7– 8 – BOUM – 10 – 11- BOUM – TIC – 14 – BOUM- 16 – 17 – BOUM – 19 – 20 - BOUM – 22 - TIC – BOUM – 25 – 26 – BOUM – 28 – 29 – TIC
BOUM – TIC – TIC – TICTICBOUM – TIC – TIC – TICBOUM – TIC – TIC – TICBOUM – 40 – 41 – BOUM – TIC – 44 – BOUM – 46 – 47 – BOUM – 49 – 50 – BOUM - 52 – TIC – BOUM – 55 – 56 – BOUM – 58 – 59 – BOUM – 61 – 62 – TICBOUM – 64 – 65 – BOUM – 67 – 68 –
BOUM – 70 – 71 – BOUM – TIC – 74 – BOUM – 76 – 77 – BOUM – 79 – 80 -
Travailler la notion de multiple
calculs multiplicatifs…
Une variante du jeu du furet : jeux de mémoire-niveau 1
L’enseignant écrit 4 nombres au tableau. Il demande aux élèves de les mémoriser car il va ensuite les cacher.
Possibilité de le faire à l’écrit, puis à l’oral…
Exemple:
30 – 40 – 50 – 60 56 - 57 – 58 – 59
Rôle de l’enseignant:
Comment les as-tu retenu?
Pourquoi est ce plus facile de mémoriser cette série plutôt qu’une autre ?
Permet d’évaluer le regard porté par les élèves sur les nombres.
4 – 8 – 16 - 32
Calcul mental,
calculs multiplicatifs…
Une variante du jeu du furet : jeux de mémoire-niveau 2
Opération Maths
L’enseignant écrit 4 nombres au tableau.
Il demande aux élèves de les mémoriser car il va ensuite les cacher.
Une fois les nombres cachés, il leur fait subir un traitement : Ajouter 10 à tous les nombres
Ecrire ces nombres en ordre croissant…
Ecrire le double,
(ou le triple) de tous ces nombres…
Multiplier ces nombres par 10, 100, 1000…
12 – 14 - 16 – 18 5 – 7 – 9 – 11
calculs multiplicatifs…
Tout sur….
Demander aux élèves d’écrire tout sur 24
Choisir un nombre « sympathique » , souvent utile dans les calculs…
25 – 1
30 – 6 2 x 12
48 : 2
La moitié de 48 Le double de 12
Calcul mental,
calculs multiplicatifs…
Merci …
