Calculs de précision dans un modèle supersymétrique non minimal

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non minimal

Vincent Bizouard

To cite this version:

Vincent Bizouard. Calculs de précision dans un modèle supersymétrique non minimal. Physique des Hautes Energies - Phénoménologie [hep-ph]. Université Grenoble Alpes, 2015. Français. �NNT : 2015GREAY075�. �tel-01686317�

THÈSE

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE LA COMMUNAUTÉ UNIVERSITÉ

GRENOBLE ALPES

Spécialité : Physique Théorique

Arrêté ministériel : 7 août 2006

Présentée par

Vincent

_Bizouard

Thèse dirigée par Geneviève Bélanger

préparée au sein du Laboratoire d’Annecy-le-Vieux de Physique

Théorique

et de l’école doctorale de physique de Grenoble

Calculs

_{de précision dans un}

modèle

_{supersymétrique non}

minimal

Thèse soutenue publiquement le 30 octobre 2015, devant le jury composé de :

Margarete Mühlleitner

Professeur, ITP - Karslruhe Institute of Technology, Rapporteur

Ana Teixeira

Chargée de recherche, LPC - CNRS, Rapporteur

Fawzi Boudjema

Directeur de recherche, LAPTh - CNRS, Examinateur, Président

Table des matières

Introduction 9

Introduction (english version) 13

1 Le Modèle Standard de la physique des particules 17

1.1 Introduction . . . 17

1.2 Les particules du Modèle Standard . . . 18

1.2.1 Les fermions . . . 18

1.2.2 Les bosons de jauge . . . 19

1.2.3 Le boson de Higgs . . . 19

1.3 Le Lagrangien du Modèle Standard . . . 20

1.3.1 L’invariance de jauge . . . 20

1.3.2 Le mécanisme de Brout-Englert-Higgs . . . 22

1.4 Les limites du Modèle Standard . . . 24

2 La supersymétrie 29 2.1 Introduction . . . 29

2.1.1 Une solution au problème de hiérarchie . . . 29

2.1.2 Unification des constantes de couplage . . . 31

2.2 Construction de la supersymétrie . . . 31

2.3 Le formalisme : superchamps et superpotentiel . . . 33

2.3.1 Les superchamps . . . 33

2.3.2 Superpotentiel et Lagrangien supersymétrique . . . 36

2.4 Une symétrie brisée . . . 39

2.5 Le NMSSM . . . 40

2.5.1 Motivations du modèle . . . 41

2.5.2 Lagrangien du NMSSM . . . 43

2.6 Le spectre du NMSSM . . . 44

2.6.1 Secteur des neutralinos/charginos . . . 44

2.6.2 Secteur de Higgs . . . 46

2.6.3 Secteur sfermionique . . . 50

3 Les divergences de boucles 53 3.1 Introduction . . . 53

3.2.1 Théorie φ4 _{. . . 55}

3.2.2 Critère de renormalisabilité . . . 58

3.2.3 Régularisation des intégrales divergentes . . . 60

3.2.4 Les limites du développement perturbatif . . . 62

3.3 Les divergences infrarouges . . . 63

4 Le code SloopS 67 4.1 Introduction . . . 67 4.2 LanHEP . . . 68 4.3 FeynArts . . . 70 4.4 FormCalc . . . 71 4.5 LoopTools . . . 72 4.6 Tests . . . 72 4.6.1 Tests de convergence UV . . . 72

4.6.2 Tests dans l’infrarouge . . . 73

4.6.3 Tests d’invariance de jauge . . . 74

4.7 Le NMSSM dans SloopS . . . 75

5 Désintégration du boson de Higgs en un photon et un boson Z dans le NM-SSM 79 5.1 Introduction . . . 80

5.2 CP-even Higgs sector of the NMSSM . . . 82

5.3 The H → γγ and H → γZ decay widths . . . 83

5.4 Numerical evaluation of Γγγ and Γγγ with SloopS . . . 84

5.5 Numerical investigation . . . 86

5.6 Conclusion . . . 89

6 Renormalisation du Modèle Standard 91 6.1 Introduction . . . 91

6.2 Renormalisation des fermions . . . 92

6.3 Renormalisation du secteur de jauge . . . 94

6.4 Renormalisation de la charge . . . 95

6.5 Secteur de Higgs . . . 96

7 Renormalisation du NMSSM dans SloopS: secteurs des neutralinos, charginos et sfermions. 99 7.1 Introduction . . . 100

7.2 Description of the NMSSM . . . 102

7.3 Renormalisation of the Chargino/Neutralino sector . . . 103

7.3.1 Fermionic self-energies . . . 104

7.3.2 Fields and masses . . . 105

7.3.3 Renormalisation of parameters . . . 108

7.4 Renormalisation of the sfermionic sector . . . 110

7.4.1 Squarks . . . 110

TABLE DES MATIÈRES

7.5 Numerical results: neutralino and chargino sector . . . 116

7.5.1 Scheme dependence . . . 117

7.5.2 Neutralino/Chargino decays . . . 120

7.6 Numerical results: the squark sector . . . 125

7.7 Conclusion . . . 131

8 Renormalisation du NMSSM dans SloopS: secteur de Higgs 133 8.1 Introduction . . . 134

8.2 The Higgs sector of the NMSSM . . . 135

8.2.1 Fields and potential . . . 135

8.3 Renormalisation of the Higgs sector . . . 138

8.3.1 Parameters, fields and self-energies . . . 138

8.3.2 Tadpoles . . . 140 8.3.3 Mass counterterms . . . 140 8.3.4 Renormalisation conditions . . . 141 8.4 Numerical results . . . 146 8.4.1 Higgs masses . . . 146 8.4.2 Higgs decays . . . 146 8.5 Conclusion . . . 148 A Matrices de Dirac 153 A.1 Définition . . . 153 A.2 Propriétés . . . 154 B Polarisation du vide 155

Remerciements

Je souhaite tout d’abord remercier ma directrice de thèse pour son encadrement au cours de ces trois années de thèse. Travailler avec elle a été un enrichissement aussi bien professionnelle-ment que humaineprofessionnelle-ment, au labo ou en dehors lors des diverses sorties escalade ou ski. Un grand merci également aux différents membres de mon jury : à Margete et Ana, pour avoir accepté d’être mes rapporteuses(trices ?) et avoir lu très attentivement mon manuscrit de thèse, qui a pu être amélioré grâce à leurs corrections ; à Fawzi pour avoir accepter d’être mon président et de manière plus générale pour avoir toujours répondu à mes questions pendant cette thèse ( Fawzi : "J’ai juste 2 minutes là, c’est rapide ?"- Moi : "Oui, oui"- Fawzi une demi-heure plus tard "Bon je te laisse je dois vraiment y aller") ; Sun Hao pour avoir accepté d’être mon examinateur.

Je veux également remercier tous mes collègues qui me feront regretter l’ambiance au LAPTh. Tout d’abord les thésards et postdocs. Les anciens qui m’ont intégré au labo : Guillaume Drieu La Rochelle, qui m’a accueilli lors de mon stage de Master 2 et m’a fait découvrir les joies d’Annecy, Guilhem Bernard et Laurent Basara pour leur humour certain et toutes les bonnes soirées passées ensemble en première année de thèse. Les conscrits, mes compagnons de labeur : Cyril qui me permettait de juger de la qualité de mes blagues par la longueur du soupir qui s’ensuivait, Nicolas qui m’a fait découvrir qu’on pouvait être ardéchois et romantique (une erreur s’est glissée dans cette phrase), Romain pour l’organisation des soirées ciné, ainsi que Li. Les plus jeunes, ceux de la coloc des cloches : Yoann pour son rire contagieux et ses conseils avisés pour pratiquer à peu près tous les sports du monde, Vivian pour les conversations inté-ressantes et Cécile pour sa bonne humeur permanente, son extrême gentillesse et les bouffées d’oxygène ; ceux de la coloc du Mont-Blanc, Mathieu pour les soirées belote, pour m’avoir tant aidé dans les moments de galère, m’avoir appris à parler rêvanla et m’avoir tant faire rire, Matthieu pour avoir été si bon public pour mes blagues, m’évitant des moments de solitude, et pour toutes les soirées au phare à supporter le Chambéry Savoie Handball (ou Montpellier) et leur colocataire Theresa pour sa bonne humeur et ses découvertes musicales (ding dong ?) ; Léo pour les conversations rugby sur les (non) performances de l’équipe de France, Vincent pour les signatures improbables de mails, les soirées jeux, les matchs de hand ou de tennis, Sami pour m’avoir fait découvrir qu’une initation au ski de rando pouvait se transformer en parcours de combattant, niveau 5, Luis pour les sorties montagnes et champignons, Jill, Thibault, toujours présents aux soirées, Philippe, pour sa motivation sans faille à faire des blagues improbables. Il y a également les permanents. Merci à Éric pour sa gentillesse et la propagation d’une rumeur aussi fausse qu’invérifiable de gros mangeur, Jean-Philippe pour son calme imperturbable et ses nombreux conseils pour mes sorties montagne, Laurent pour l’initiation au ski de rando et tous les emprunts de matériel, et tous les autres. Enfin un grand merci aux super secrétaires,

et particulièrement à Dominique pour sa disponibilité, les conversations handball, les carrés de chocolat en cadeau pour me rebooster, ainsi qu’à son mari Jean-Michel pour toutes les soirées match de hand et à leur fils Keanu pour les sorties pêche.

Un grand merci également à mes amis. Ceux de longue date et qui ont toujours été là pour moi : Pierre-Louis qui a même eu la bonne idée de démarrer une thèse en même temps que moi et à qui je dois toujours un igloo, Manu qui innovera toujours dans ses performances pour notre plus grand étonnement, Nico mon coach officiel et râleur préféré, Cédric pour son inconscience habituelle et sa chère Juju. Puis mes amis de prépa : Harmonie, ma deuxième maman, toujours là pour me réconforter ou me faire des bons gateaux, ainsi que son Yéti toujours serviable et aimable, Flavien pour toutes les sorties montagne labellisées abrupt’team et toutes les conversations sur l’utilité du forum de camptocamp, Samuel mon nougatiseur préféré qui me surprendra toujours, François qui aurait décidément dû jouer dans la guerre du feu. Merci à Ronel, mon frère spirituel. À Coline, pour tous les bons moments passés en montagne, à Allemond, en Alsace ou ailleurs. Merci à mes amis de master Benoit et Lucien, que j’ai pris beaucoup de plaisir à recroiser au cours de ma thèse. Merci à Amaury, qui me suit depuis un bon bout de temps maintenant.

Merci enfin à ma famille qui m’a toujours soutenu et a toujours respecté mes décisions. Merci à mes parents, sans qui rien de tout cela ne serait arrivé, merci pour leur amour. Merci à ma soeur et Matthieu pour leur soutien au cours de ces trois années, pour les soirées et les sorties montagne passées ensemble. À mon frère, qui m’a toujours fait rire. Merci à ma grand-mère qui pensait que je faisais une thèse sur le charbon, puisque ça devait parler de matière noire. À ma grande tante Marie qui m’a toujours compris. Merci à mes tantes, oncles, cousins, cousines, présents dans la mesure du possible.

Introduction

Il aura fallu plus d’un siècle, de la découverte de l’électron par Thomson en 1897 à celle du boson de Higgs en 2012 au LHC par le CERN, pour construire ce qu’on appelle désormais le Modèle Standard de la physique des particules, unifiant la mécanique quantique et la relativité restreinte en une théorie quantique des champs. Deux types de particules le composent : les fer-mions, qui sont les particules de matière, et les bosons, responsables des interactions, obéissant respectivement aux statistiques de Fermi-Dirac et de Bose-Einstein. Les interactions se divisent elles-mêmes en deux catégories, d’une part les interactions fondamentales, à l’exception de la gravité, décrites par le formalisme de jauge et associées à des bosons de jauge et d’autre part les interactions de Yukawa entre l’unique champ scalaire du modèle, le boson de Higgs, et les champs de matières. Ces interactions permettent également de générer les masses des fermions du modèle via le mécanisme de Higgs. Le Modèle Standard permet de prédire avec une très grande précision de nombreuses observables de physiques de particules jusqu’à des énergies de l’ordre de quelques centaines de GeV. Cependant, plusieurs indices semblent montrer qu’il ne s’agit que d’une théorie effective à basse énergie. Comme indiqué, la gravitation n’est pas décrite dans ce modèle et on ne sait toujours pas quelle théorie permettra d’unifier mécanique quantique et relativité générale. La découverte de l’oscillation de saveur des neutrinos prouve que ces particules ont une masse, ce qui n’est pas non plus expliqué dans le cadre du modèle. La matière noire, qui compose 80% de la matière totale de l’Univers, est nécessairement constituée de particules non prédites par le Modèle Standard. Enfin, les corrections radiatives à la masse du boson de Higgs présentent une divergence quadratique, créant un problème de hiérarchie. Ces problèmes montrent qu’une nouvelle physique doit exister et être décrite par une théorie au delà du Modèle Standard. Comme on le verra plus en détail par la suite, la Supersymétrie permet, déjà dans sa version minimale, de résoudre certains de ces problèmes. Il s’agit d’une nouvelle symétrie entre bosons et fermions, permettant, entre autres, de proposer un candidat naturel à la matière noire et de supprimer les dangereuses divergences quadratiques des cor-rections à la masse du boson de Higgs. D’autres théories proposent également des solutions aux divers problèmes mentionnés ci dessus et dans tous les cas, on s’attend à voir la nouvelle physique apparaitre dans les prochaines années, par exemple au LHC ou en détectant de la matière noire.

En attendant de découvrir des nouvelles particules, il est possible de trouver des traces d’une physique au delà du Modèle Standard en analysant les différentes observables mesurées dans les collisionneurs tels que le LHC afin de voir s’il y a des déviations entre ces mesures et les valeurs prédites par le Modèle Standard. Pour comprendre l’origine d’une éventuelle déviation, il est nécessaire de déterminer avec précision les observables dans le cadre des théories au delà du Mo-dèle Standard. Ces calculs de précision sont également essentiels pour comprendre la nature des

nouvelles particules que l’on découvrira dans le futur. Dans cette thèse, le travail s’est porté sur les calculs de précision à l’ordre d’une boucle dans le cadre d’une extension supersymétrique du Modèle Standard, le NMSSM (pour Next-to-Minimal Supersymmetric extension of the Standard Model en anglais). La complexité de ce type de calculs, ajouté au fait que le NMSSM dépend de dizaines de paramètres, incite à utiliser un code informatique afin d’automatiser la détermi-nation d’une largeur de désintégration ou d’une section efficace de collision. C’est pour cette raison que le code SloopS a été développé au LAPTh par F.Boudjema, A.Semenov, N.Baro et G.Chalons, permettant de calculer automatiquement à l’ordre d’une boucle des observables supersymétriques. Initialement dédié à l’extension supersymétrique minimal, il a ensuite été adapté au NMSSM pour les calculs à l’ordre dominant. Le premier travail, publié dans Physical Review D, s’est porté sur l’étude de la désintégration du boson de Higgs en un photon et un boson Z avec le code SloopS. Ce processus n’existe pas à l’ordre des arbres mais est généré à une boucle pouvant être parcourue par toutes les particules chargées du modèle, au même titre que la désintégration en deux photons. Une déviation par rapport au Modèle Standard pourrait ainsi indiquer l’existence de nouvelles particules chargées. Ce mode de désintégration a commencé à être mesuré lors du Run 1 du LHC et les données vont continuer à s’accumuler lors du Run actuel (Run 2), permettant une analyse plus approfondie de la compatibilité de ce canal avec les données du Modèle Standard. Le travail suivant s’est porté sur le calcul de corrections radiatives à des processus existant déjà à l’ordre des arbres. Ces calculs font appa-raitre des divergences qui doivent être régulées en renormalisant le modèle. Il a ainsi d’abord fallu réaliser et implémenter la renormalisation du NMSSM dans SloopS, avant de pouvoir calculer les corrections à différentes observables : masses des neutralinos, des bosons de Higgs, largeurs de désintégration des sfermions, des neutralinos et des bosons de Higgs. Ce code per-met aussi de calculer les sections efficaces de n’importe quel processus. Dans le cas de processus faisant intervenir des particules chargées sous les interactions électromagnétique ou forte, des divergences apparaissent également du fait de la présence de bosons de jauge de masse nulle dans les boucles. L’émission supplémentaire de bosons de jauge de faible énergie, colinéaires aux particules chargées et donc indistinguables de celles ci, permet d’annuler ces divergences. Ces émissions sont également implémentées dans SloopS, rendant possible la détermination de corrections QED et QCD.

Dans le premier chapitre de cette thèse, nous présenterons plus en détail le Modèle Standard de la physique des particules et les différentes étapes de sa construction. Nous reviendrons également sur les limites de ce modèle indiquant la nécessité de trouver une nouvelle physique au delà du modèle standard.

Le second chapitre sera consacré à la Supersymétrie. Nous montrerons d’abord en quoi cette symétrie supplémentaire de l’espace-temps permet de résoudre certains problèmes du Modèle Standard. Puis nous énoncerons les principes fondateurs et détaillerons le formalisme des superchamps et superpotentiel. Puisque la non découverte de particules supersymétriques implique que cette symétrie est brisée, nous exposerons ensuite la paramétrisation de cette brisure. Enfin, nous présenterons en détail le modèle sur lequel les travaux de thèse ont été effectués, le NMSSM.

Le chapitre suivant sera dédié aux calculs à une boucle et en particulier aux divergences qui apparaissent dans ce type de calculs et à leur régularisation. Nous reviendrons d’abord sur la procédure de renormalisation qui permet de supprimer les divergences ultraviolettes. Puis nous

verrons plus en détail que l’ajout de l’émission douce des bosons de jauge permet d’annuler les divergences infrarouges.

Au chapitre 4, nous verrons plus en détail la structure du code SloopS, basé sur l’utilisation des programmes LanHEP, pour la création d’un modèle, et du paquet FeynArts/FormCalc/LoopTools pour le calcul des sections efficaces et largeurs de désintégration.

Le chapitre 5 portera sur le premier travail réalisé avec ce code, la désintégration du boson de Higgs en un photon et un boson Z dans le cadre du modèle NMSSM. Nous étudierons d’abord l’influence des contributions des sfermions et celles non diagonales des charginos, négligées dans d’autres codes, dans le calcul de la largeur de désintégration, afin de confirmer ou infirmer qu’elle est bien négligeable. Nous calculerons ensuite les signaux attendus, afin de voir si des déviations dans ce canal sont possibles pour des points de l’espace de paramètres qui n’ont pas été exclus par les mesures expérimentales dans d’autres modes de désintégration. Nous nous intéresserons à la fois aux cas où soit le boson de Higgs le plus léger, soit le deuxième plus léger, correspond à celui observé au LHC. Pas ailleurs, pour chaque cas, nous étudierons les deux principaux modes de production du boson de Higgs, à savoir par fusion de deux gluons ou de deux bosons de jauge W ou Z.

Le sixième chapitre abordera la renormalisation du Modèle Standard dans SloopS en guise d’introduction à celle du NMSSM. En effet, secteur de Higgs mis à part, le Modèle Standard est inclus dans le NMSSM, il est donc possible de dissocier la renormalisation des particules "standards" de celle des particules supersymétriques.

Le chapitre 7 concernera la renormalisation du secteur des charginos, des neutralinos et des sfermions du NMSSM dans SloopS. Le calcul des masses corrigées sera effectué dans le cadre de différents schémas de renormalisation. De plus, des corrections aux largeurs de désintégration des neutralinos et charginos en un boson de jauge et un neutralino ou chargino seront étudiées en effectuant à nouveau des comparaisons entre différents schémas et en prenant en comptes les corrections QED. La même étude sera réalisé pour le cas des désintégration de squarks, qui nécessitent en plus la prise en compte des corrections QCD

Au chapitre 8, on présentera la renormalisation du secteur Higgs du NMSSM, ce qui achèvera la renormalisation du secteur électrofaible de ce modèle. Le calcul des masses corrigées des boson de Higgs sera effectué dans un schéma DR afin de retrouver les résultats présentés dans la littérature. De plus, nous nous intéresserons aux corrections radiatives aux désintégrations faisant intervenir des bosons de Higgs.

Introduction (english version)

The Building of Standard Model of particle physics took more than one century, from the discovery of the electron by Thomson in 1897 to that of the Higgs boson at the LHC in 2012. This model manages to unify quantum mechanics and special relativity in an unique quantum field theory. Two kinds of particles are present in this model : fermions, that are matter fields, and bosons, mediators of interactions, respectively following the Fermi-Dirac and the Bose-Einstein statistics. There are also two types of interactions, gauge interactions, mediated by the vector gauge bosons, and Yukawa interactions between the only scalar boson of the model, the Higgs boson, and the matter fields, that yield masses to particles through the Higgs mechanism. The Standard Model precisely predicts most of the measured physical observables up to energies of a few hundred GeV. However, several observations seem to show that it is only a low energy effective theory. Gravitation is not taken into account in this model, since we still do not know how to quantify general relativity, and we expect that it should appear at energies of the order of the Planck mass. Neutrino flavor oscillations indicate that these particles have a mass, whereas they are massless in the Standard Model. Moreover, dark matter, composing 80% of the matter content of the Universe, consists in massive, weak interacting particles not described in the model. Finally, the radiative corrections to the Higgs boson mass present quadratic divergences that have to be carefully cancelled, creating a naturalness problem. These problems show that New Physics should exist and be described by a theory beyond the Standard Model. One of the best motivated theories is the Supersymmetry, solving many of these problems already in its minimal incarnation. It consists in a new space-time symmetry between bosons and fermions, yielding a natural candidate for dark matter and cancelling the dangerous quadratic corrections to Higgs bosons masses. In any case, whichever beyond Standard Model theory will describe Nature, we expect to see New Physics in the following years, for example at the LHC or by detecting dark matter.

To detect New Physics, one can either directly discover a new particle or find deviations from the Standard Model in the measured observables, for example the Higgs boson couplings. In both cases, one has to perform precision calculations in beyond Standard Model theories in order to be able to do relevant theoretical analyses. The goal of this thesis is to perform precision calculations in the framework of the NMSSM, the Next-to-Minimal supersymmetric extension of the Standard Model. The complexity of these calculations call for an automatisation of the computations with a computer. This was done with SloopS, a programm developped at LAPTh by F.Boudjema, A.Semenov, N.Baro and G.Chalons, that can compute supersymmetric observables at one-loop. Initially dedicated to the Minimal Supersymmetric extension of the Standard model, it has then be adapted to the NMSSM for leading order calculations. The first topic covered in this thesis focussed on the decay of the Higgs boson in a photon and

a Z-boson. This process does not exist at tree-level but is generated at one-loop order. All charged particles can run in the loop, as for the decay in two photons. A deviation from the Standard model could thus show the effect of new charged particles. This decay mode started to be measured during Run 1 of the LHC, and more data will be collected with the Run 2, allowing a comparison with the expected Standard Model signal. The second topic concerns next-to-leading order computations for any process in the NMSSM. These calculations suffer from ultraviolet divergences that have to be regulated by renormalising the model. The first step was to study and implement the renormalisation of the NMSSM in SloopS, in order to compute radiative corrections to some observables : neutralino and Higgs bosons masses, decay widths of sfermions, neutralinos charginos and Higgs bosons. With SloopS, it is also possible to calculate cross-sections for any process. For processes with charged particles under electromagnetic or strong particles, infrared divergences appear, due to the presence in the loop of massless gauge bosons. These divergences can be cancelled by adding emissions of soft gauge bosons, colinear to the charged particles. These emissions are also implemented within SloopS, giving the possibility to perform QED or QCD corrections.

In the first chapter of this thesis, we will introduce more precisely the Standard Model of particle physics and the different steps involved in its building. We will also give more details on the limits of this model and the need for New Physics.

The following chapter will be dedicated to the presentation of Supersymmetry. We will first explain how this new space-time symmetry solve some problems of the Standard Model. Then, the superfields and superpotential formalism will be presented. The absence of discovery of a supersymmetric particle so far meaning that this symmetry is broken, we will show how to parametrise this breaking. We will end this chapter by introducing the NMSSM.

The third chapter will focus on one-loop computations and particularly on the divergences appearing in these calculations and on the way to regulate them. We will first expose the renormalisation procedure, giving an example of cancellation of the ultraviolet divergences. Then we will recall how gauge bosons emissions cancel the infrared ones.

In chapter 4, we will present in more details the code SloopS, based on four other programms, LanHEP for the creation of a model, and the bundle FeynArts/FormCalc/LoopTools for the calculations of cross-sections and decay-widths.

The fifth chapter is devoted to the first application done with this code, the decay of a Higgs boson in a photon and a Z-boson in the framework of the NMSSM. We will first study the influence of sfermions and non-diagonal charginos contributions to this decay width, neglected in other codes, to check whether it should be the case. We will then compute the expected signal strenghts and examine whether deviations from the Standard Model are possible in this decay mode. We concentrated on points of the parameter space that have not been already excluded by experimental measurements of other decay modes. We will consider the cases where either the lightest, or the second-lightest, Higgs boson of the NMSSM corresponds to the one observed at the LHC. In both cases, we will also study the two principal Higgs production mode, the vector boson or the two gluons fusion.

Chapter 6 will focus on the renormalisation of the Standard Model in SloopS as an introduc-tion for that of the NMSSM. Indeed, except for the Higgs sector, the Standard Model is included in the NMSSM, in this way it is possible to dissociate renormalisation of the "standard" sector of the NMSSM from the supersymmetric one.

In chapter 7, we will introduce the renormalisation of the chargino, neutralino and sfermions sector in SloopS. Mass corrections will be calculated in different renormalisation schemes in order to perform comparisons. The same approach will be taken for the computation of decay widths of neutralinos in a gauge boson and a neutralino or chargino. Decay of squarks, also including QCD corrections, will also be studied.

Chapter eight will focus on the renormalisation of the Higgs sector, which will complete the renormalisation of the electroweak sector of the NMSSM. Higgs bosons mass corrections will be calculated in a DR renormalisation scheme in order to compare our results with the one presented in the litterature. We will also be interested to decay widths of processus with a Higgs boson in initial of final state.

Chapitre 1

Le Modèle Standard de la physique des

particules

1.1

Introduction

Le Modèle Standard (MS) de la physique des particules [1–3] est la théorie qui décrit toutes les particules élémentaires découvertes jusqu’à présent ainsi que leurs interactions. Avec la découverte du boson de Higgs au LHC en 2012 [4, 5], la dernière pierre de la construction de ce modèle a été posée. Le MS permet de prédire avec une très bonne précision un grand nombre d’observables physiques, comme le montrent par exemple les tests de précision du secteur électrofaible.

Les particules sont décrites par des champs. Comme toute théorie des champs, le MS est construit à partir de l’action S, définie comme une intégrale sur l’espace d’un Lagrangien L,

S = Z

d4_{xL(φ, ∂}µφ), (1.1)

où le Lagrangien est une fonction des différents champs de la théorie. La minimisation de cette action permet d’obtenir les équations du mouvement des différents champs, appelées équation d’Euler-Lagrange : ∂µ  ∂L ∂(∂µφ)  − ∂L_∂φ = 0. (1.2)

Chaque champ apparaissant dans le Lagrangien appartient à une représentation irréductible du groupe de Lorentz, caractérisée par son spin. Ce spin peut être de valeur entière ou demi-entière, on parle alors respectivement de boson ou de fermion. Dans le Modèle Standard, seuls trois types de spins sont présents. La seule particule scalaire, de spin 0, est le boson de Higgs ; les quarks et les leptons sont des fermions décrits par des spineurs de spin 1/2 et enfin les bosons de jauge sont des particules vectorielles de spin 1.

Le Lagrangien peut présenter des symétries globales ou bien locales, aussi appelées symétries de jauge. Ces dernières permettent de décrire les interactions fondamentales présentes dans la théorie, qui se manifestent par des termes d’interaction entre bosons de jauge et les autres particules du modèle. Le MS est basé sur le groupe de jauge SU(3)C ⊗ SU(2)L ⊗ U(1)Y.

groupe SU(2)L⊗ U(1)Y est le groupe de jauge électrofaible, qui permet d’unifier interaction

électromagnétique et interaction faible. La dernière interaction fondamentale, la gravité, n’est pas décrite dans le MS. En effet, les effets quantiques de la gravité ne se manifesteront pas avant d’atteindre des échelles d’énergie de l’ordre de la masse de Planck, MP ∼ 1019 GeV, échelle à

laquelle le MS ne sera de toute manière plus valide.

Un dernier type d’interaction existe dans le MS, il s’agit des interactions entre le boson de Higgs et les fermions, non décrites par des symétries de jauge mais par des couplages de Yukawa qui permettent de relier ces deux secteurs et de briser, comme on le verra, la symétrie électro-faible, laissant une symétrie résiduelle U(1)em responsable de l’interaction électromagnétique.

La charge électrique d’une particule s’exprime alors en fonction de ses charges sous U(1)Y,

l’hy-percharge Y, et sous SU(2), l’isospin faible T3_{, grâce à la relation de Gell-Mann-Nishijima [6,7] :}

Q = T3+ Y

2. (1.3)

1.2

Les particules du Modèle Standard

1.2.1

Les fermions

Dans le Modèle Standard, il existe deux types de fermions : les quarks, sensibles à l’interaction forte, et les leptons, qui y sont insensibles, rassemblés en trois générations. Chaque génération possède un quark de type up de charge électrique 2/3, un quark de type down de charge électrique -1/3, un électron de charge -1 et un neutrino sans charge associé à cet électron. Au total, il y a donc 6 quarks (up, down, charm, strange, top, bottom), pouvant chacun porter trois couleurs, et 3 paires électron-neutrino (électron, muon, tau). La première génération est stable et présente à l’état naturel. Les deux autres générations sont plus lourdes et instables : seuls les muons d’origine cosmique sont présents à l’état naturel, ainsi que les neutrinos muoniques et tauiques grâce au phénomène d’oscillation de saveur [8] non expliqué dans le cadre du Modèle Standard dans lequel les neutrinos n’ont pas de masse. Chacune de ces particules possède une antiparticule avec des nombres quantique opposés. Les masses des fermions sont présentées dans le tableau 1.1.

Génération Quarks Leptons

1 u : 2.3+0.7_−0.5 MeV d : 4.8+0.5_−0.3 MeV e : 511 keV νe : <2 eV

2 c : _{1.275 ± 0.025 GeV s : 95 ± 5 MeV} µ : 105.7 MeV νµ : <2 eV

3 t : 176.7+4.0_−3.4 GeV b : _{4.66 ± 0.03 GeV τ : 1.777 GeV ν}τ : <2 eV

Table 1.1 : Masses des fermions du Modèle Standard. Source : Particle data group 2014.

Les fermions appartiennent à des représentations spinorielles du groupe de Lorentz. Il existe deux types de spineurs, de chiralité gauche ou droite, qui se transforment de manière conjuguée sous une transformation de Lorentz. Les fermions chargés sont chiraux, ils possèdent une partie gauche et une partie droite, décrites chacune par un spineur de Weyl à deux composantes et assemblés en un spineur de Dirac à quatre composantes. Chaque fermion chiral est ainsi décrit

1.2. LES PARTICULES DU MODÈLE STANDARD par un champ ψ qui se décompose de la manière suivante,

ψ = PLψL+ PRψR=  ψL ψR  , (1.4)

où PL et PR sont les opérateurs de projection sur les parties gauche et droite,

PL = 1 − γ 5

2 , PR=

1 + γ5

2 , (1.5)

avec γ5 _{= iγ}0_γ1_γ2_γ3 _{le produit des matrices de Dirac, présentées en annexe. Les neutrinos ne}

sont pas des spineurs de Dirac : dans le MS, seule leur partie gauche existe. Ils sont donc décrits par un seul spineur de Weyl de chiralité gauche.

Chaque génération de fermions est ainsi décrite par un ensemble de quatre spineurs de Weyl de chiralité gauche et 3 spineurs de Weyl de chiralité droite. Les parties gauches des quarks, d’une part, et des leptons, d’autre part, forment des doublets de SU(2)L, Qi et Li pour la

génération i. En revanche, les parties droites ne sont pas chargées sous SU(2)L. Les différents

champs fermioniques du MS sont donc : Qi =  ui di  L , uiR, diR, Li =  ei νi  L , eiR, (1.6)

où i = 1, 2, 3 est l’indice des générations.

1.2.2

Les bosons de jauge

Les groupes de jauge sont des groupes de Lie. Chacun de ces groupes possède ainsi un nombre de générateurs égal à la dimension du groupe, qui sont associés à des particules vectorielles. Ces vecteurs sont les quanta médiateurs des interactions de jauge.

Pour le groupe de jauge du modèle standard, SU(3)C ⊗ SU(2)L⊗ U(1)Y, nous obtenons

donc respectivement 8 gluons g1..8 _{vecteurs de l’interaction forte de couplage g}

3, 3 bosons

W1..3 _{vecteurs de l’interaction faible de couplage g}

2 et un boson B vecteur de l’interaction

d’hypercharge de couplage g1. En l’absence de brisure des symétrie, les bosons de jauge sont

tous de masses nulles. La brisure de la symétrie électrofaible par le mécanisme de Higgs génére 3 masses aux bosons W et Z et laisse un photon de masse nul dû à la symétrie électromagnétique U (1)em résiduelle, comme on le verra en détail dans la prochaine section.

1.2.3

Le boson de Higgs

Le boson de Higgs est la seule particule scalaire du MS et la dernière à avoir été découverte. Elle a été introduite dans les années 60 pour expliquer la brisure de la symétrie électrofaible et expliquer les masses des autres particules du modèle. Sa propre masse est en revanche un paramètre libre du MS, on sait désormais qu’elle est de 125.7 ± 0.4 GeV [4, 5].

Le champ de Higgs H est un doublet de SU(2)L et d’hypercharge 1 :

H =  φ+ φ0  . (1.7)

L’ensemble des champs du Modèle Standard avec leurs nombres quantiques sous les diffé-rentes symétries de jauge sont résumés dans le tableau 1.2.

Champs SU (3)C,SU(2)L,U(1)Y T3 Y U (1)em QL =  ui di  L (3, 2, 1/3)  1/2 −1/2  1/3  2/3 −1/3  uiR (3, 1, 4/3) 0 4/3 2/3 diR (3, 1, −2/3) 0 −2/3 −1/3 Li =  νi ei  L (1, 2, −1)  1/2 −1/2  −1  0 −1  eiR (1, 1, 2) 0 −2 −1 B (1, 1, 0) 0 0 0 W1..3 _{(1, 3, 0) −1, 0, 1 0 −1, 0, 1} g (8, 1, 0) 0 0 0 H =  φ+ φ0  (1, 2, −1)  1/2 −1/2  1  1 0 

Table 1.2 : Les champs du Modèle Standard avant brisure de la symétrie électrofaible.

1.3

Le Lagrangien du Modèle Standard

Le Lagrangien du Modèle Standard peut se décomposer de la manière suivante,

LM S = LJ+ LF + LH + LY, (1.8)

où l’on voit apparaitre les contributions fermionique, de jauge, scalaire et de Yukawa, détaillées ci-dessous.

1.3.1

L’invariance de jauge

Le Lagrangien cinétique d’un fermion ψ, en l’absence d’interaction, s’écrit,

LF = i ¯ψ✓✓∂ψ, (1.9)

où✓✓∂ = γµ_∂ µ.

Ce Lagrangien est invariant sous une transformation U(1) globale ψ → exp(iα)ψ, mais ne l’est plus lorsque le paramètre α devient local, c’est-à-dire dépendant de la position x, comme c’est le cas pour une symétrie de jauge U(1). Pour restaurer l’invariance de jauge, il est nécessaire de modifier ce Lagrangien en introduisant un nouveau champ vectoriel Aµ. Il est alors possible

de définir une nouvelle dérivée covariante en remplaçant la dérivée spatiale par,

∂µ→ Dµ≡ ∂µ+ ieAµ, (1.10)

avec e le couplage de la symétrie U(1) considérée. Le Lagrangien fermionique est alors modifié en :

1.3. LE LAGRANGIEN DU MODÈLE STANDARD On voit ainsi apparaitre un terme d’interaction entre les champs de jauge et fermionique. En appliquant maintenant les transformations de jauge suivantes à ces deux champs,

ψ → ψ′(x) ≡ exp[iα(x)]ψ(x), (1.12)

Aµ → A′µ(x) = Aµ(x) −

1

e∂µα(x), (1.13)

on constate qu’on a alors la transformation Dµψ → eiα(x)Dµψ et que le Lagrangien de l’équation

1.11 est immédiatement invariant de jauge. Le tenseur de Maxwell Fµν, défini à partir du champ

de jauge de la manière suivante,

Fµν = ∂µAν− ∂νAµ, (1.14)

est également invariant sous la transformation de jauge (1.13). Le Lagrangien cinétique du champ de jauge s’exprime alors simplement à partir de ce tenseur :

LJ = −

1 4FµνF

µν_{. (1.15)}

On a finalement obtenu les Lagrangiens fermionique et de jauge pour une théorie de jauge de type U(1), qui est un groupe abélien dont la transformation de jauge est paramétrée, comme on l’a vu, par une fonction α(x). On peut généraliser ce raisonnement dans le cadre de théories de jauge plus générales, non abéliennes, pour lesquelles le paramètre de transformation de jauge n’est plus une simple fonction mais une matrice. Il s’agit dans ce cas de théories de Yang-Mills [9]. Un groupe de Lie quelconque de dimension n est caractérisé par les relations de commutation entre ses n générateurs T1..n (l’écriture en gras indique qu’il s’agit de matrices),

[Ti, Tj] = icijkTk, (1.16)

où cijk sont les constantes de structure du groupe en question. Dans le cas de U(1) présenté

ci-dessus, ces constantes sont nulles. Pour SU(2)L, cijk = ǫijk, où ǫ est le tenseur de Levi-Civita

d’ordre 3, et pour SU(3), cijk = fijk en utilisant les notations de Gell-Mann [10]. Dans le cas

non abélien, le tenseur de Maxwell devient également une matrice qui se décompose grâce aux générateurs, Fµν = Fµνi Ti, avec :

Fµνi = ∂_µAi_ν − ∂_νAi_µ+ gc_ijkAj_µAk_ν, (1.17) avec g le couplage et Ai _{les champs vectoriels de la symétrie de jauge considérée.}

Finalement, le Lagrangien de jauge du Modèle Standard s’écrit, LJ = − 1 4 3 X a=1 F_a,µνi F_ai,µν (1.18)

où l’indice a indique la somme sur les trois groupes de symétrie du MS et l’indice i celle implicite sur tous les générateurs d’un groupe donné. Le Lagrangien fermionique s’exprime quant à lui de la manière suivante,

avec σµ _{≡ (1, σ), ¯σ}µ _{≡ (1, −σ), où σ sont les matrices de Pauli. Les expressions des dérivées}

covariantes dépendent également des champs sur lesquels elles s’appliquent : Dµ= ∂µ− i

3

X

a=1

ganaAia,µTia, (1.19)

avec n1 = Y pour l’hypercharge U (1)Y, n2 = 0, 1 pour respectivement un singulet ou un doublet

de SU(2)L et n3 = 0, 1, −1 pour respectivement un singulet, un triplet ou un antitriplet de

SU (3). On voit ainsi que les parties droites des fermions sont insensibles à l’interaction faible. Ajouter un terme de masse à ces Lagrangiens brise explicitement la symétrie électrofaible. Pour les bosons de jauge, un terme de masse m2_A

µAµ n’est en effet pas invariant sous une

transformation de jauge, équation (1.13). Quant aux fermions du modèles standard, les parties de chiralité gauche sont membres de doublet de SU(2)L comme présenté dans le tableau 1.2.

Ajouter un terme de masse à, par exemple, l’électron, se traduit par le terme de Lagrangien meee = m(e¯ †LeR+ e†ReL),

qui n’est pas invariant sous une transformation de SU(2)L changeant eL en νL. Pour que le

Lagrangien reste invariant sous cette symétrie, il est donc nécessaire d’introduire un mécanisme de brisure spontanée de cette symétrie afin de générer dynamiquement les masses des fermions et des bosons de jauge. L’introduction du champ de Higgs et de ses couplages de Yukawa avec les fermions permettent cela, comme on va le voir maintenant.

1.3.2

Le mécanisme de Brout-Englert-Higgs

Comme nous l’avons vu, tableau 1.2, le champ de Higgs est sensible seulement aux interactions faibles. Son Lagrangien se décompose de la manière suivante :

LH = (DµH)†(DµH) − V (H). (1.20)

Le premier terme contient la partie cinétique du champ scalaire, mais aussi les interactions avec les bosons de jauge, nécessaires pour garantir l’invariance de jauge, via la dérivée covariante (1.19), avec ici n1 = YH = 1, n2 = 1 et n3 = 0. Le second terme est le potentiel scalaire V (H)

qui contient les termes d’interaction du champ de Higgs avec lui même. Ce potentiel ne peut contenir que des termes invariants de jauge et renormalisables, c’est-à-dire avec des couplages de dimension de masse positive. Avec ces conditions, la forme générale est un polynôme d’ordre 4, puisqu’un champ scalaire a la dimension d’une masse :

V (H) = −µ2H†H + λ(H†H)2 (1.21) Le terme de masse de ce potentiel a un signe négatif. Cela signifie que le minimum de ce potentiel n’est pas en 0, mais est décalé d’une valeur v. La valeur moyenne dans le vide du champs de Higgs, notée vev par la suite (pour "Vacuum Expectation Value"), est donc :

|h0|H|0i|2 = µ

2

2λ = v

2

1.3. LE LAGRANGIEN DU MODÈLE STANDARD Le champ de Higgs peut maintenant être développé autour de sa vev :

H =  G+ v + √1 2(h 0_{+ iG}0₎  . (1.23)

Le seul champ physique est h0_{, il décrit le boson de Higgs. Sa masse est reliée, à l’ordre des}

arbres, aux paramètres du potentiel de Higgs :

m2h = 2µ2 = λv2 (1.24)

Les autres champs, G+_{, G}− _{et G}0_{, sont des bosons de Goldstone non physiques qui peuvent}

être supprimés par une transformation de jauge. Dans la jauge unitaire, ils n’apparaissent plus. Brisure de la symétrie électrofaible

En incluant le développement (1.23) dans le Lagrangien (1.20), on constate que la symétrie électrofaible est effectivement brisée : les états propres de jauge W1..3_{et B ne sont effectivement}

plus des états propres physiques de masse nulle. W1

µ et Wµ2, d’une part, Wµ3 et Bµ, d’autre part

se mélangent pour former respectivement les bosons de jauge chargés W±

µ, de masse MW, et

les bosons neutres Zµ, de masse MZ, et le photon Aµ, de masse nulle, boson de jauge de la

symétrie U(1)em résiduelle,

W_µ± = √1 2(W 1 µ ∓ iWµ2), (1.25)  Zµ Aµ  =  cos θW − sin θW sin θW cos θW   W3 µ Bµ  , (1.26)

où θW est l’angle de Weinberg, défini à partir des constantes de couplage de SU(2)L et U(1)Y

par : cos θW ≡ cW = g2 p g2 1 + g22 , sin θW ≡ sW = g1 p g2 1+ g22 . (1.27)

Le couplage électromagnétique s’exprime comme : e = g2sW = g1cW = g1g2 p g2 1 + g22 . (1.28)

Les masses des bosons de jauge sont reliées à la vev du champ de Higgs par les relations suivantes : MW = g2v √ 2, MZ = 1 2 q g2 1+ g22v = MW cW , (1.29)

ce qui permet de donner la valeur de cette vev, v ≃ 174 GeV. Couplages de Yukawa

Il est possible de construire un Lagrangien d’interaction renormalisable et invariant de jauge entre champs fermioniques et champ de Higgs de la manière suivante :

LY = yeijL†iHe˜ jR + y

u

ijQ†iHujR + y

d

où h.c dénote l’hermitien conjugué. Les couplages sans dimension ye_{, y}u _{et y}d _{sont dénommés}

couplages de Yukawa. Ce sont des matrices dans le cas général, permettant de générer des termes d’interaction entre fermions de différentes générations. Dans la suite de cette thèse, elles seront prises diagonales, chaque fermion ayant donc son propre couplage yf.

Après brisure de la symétrie électrofaible, le développement du champ de Higgs autour de sa vev génère alors des masses aux différents fermions dont les expressions sont simplement données par :

mf = yfv. (1.31)

Le Lagrangien du Modèle Standard est désormais entièrement déterminé.

1.4

Les limites du Modèle Standard

Le Modèle Standard prédit avec une très grande précision de nombreuses observables physiques, comme par exemple les mesures de précision du secteur électrofaible [11]. Pour l’instant, aucune particule n’appartenant pas au MS n’a encore été découverte. Tous les couplages du boson de Higgs avec les autres particules du MS sont également compatibles avec les valeurs attendues dans ce modèle, comme le montre la figure 1.1. Cependant de nombreux indices et observations montrent que ce modèle n’est qu’une théorie effective à basse énergie dont il faut trouver une extension.

Figure _{1.1 : Tableau récapitulatif des rapports entre signaux mesurés et ceux attendus dans} le Modèle Standard, dans le cas de l’expérience ATLAS.

L’observation d’oscillations de neutrinos [12] montre par exemple que ces particules sont massives, ce qui n’est pas le cas dans le MS, où l’absence de partie droite ou de triplet de Higgs ne permet pas de construire un couplage de Yukawa. Il est de ce fait nécessaire d’étendre le secteur

1.4. LES LIMITES DU MODÈLE STANDARD des neutrinos. Par ailleurs, l’étude de la dynamique et de la masse des halos de galaxies montre l’existence d’une Matière Noire, composant environ 80% de la matière totale dans l’Univers [130]. Elle est constituée de particules encore inconnues mais qui doivent nécessairement être sans charge électrique et sans couleur. La seule particule de ce type dans le MS est le neutrino. Cependant, sa faible masse lui confère un comportement relativiste or on sait que la Matière Noire doit être froide, c’est-à-dire se déplacer à des vitesses de l’ordre d’un millième de celle de la lumière. Le neutrino ne permet donc pas d’expliquer les observables cosmologiques telles que la formation des structures galactiques ou la densité relique de Matière Noire, qui est nécessairement constituée de particules encore inconnues. L’énergie noire, composant environ 70% du contenu en énergie de l’Univers, ainsi que l’asymétrie matière-antimatière ne sont pas non plus expliquées dans le cadre du Modèle Standard.

Des arguments plus théoriques penchent en faveur d’une extension du MS. Comme on l’a mentionné dans l’introduction, l’interaction gravitationnelle n’est pas décrite dans ce modèle puisque son influence à des échelles d’énergie de l’ordre du GeV ou du TeV est négligeable. Si on veut construire une théorie valide jusqu’à l’échelle de Planck, il sera en revanche indispensable de la prendre en compte.

À des énergies inférieures ou de l’ordre de l’échelle électrofaible, il existe également une hié-rarchie non expliquée entre les trois constantes de couplages du groupe de jauge du MS, g3 > g2 > g1. Cependant, les corrections quantiques modifient la valeur des couplages en

fonction de l’énergie. En effet, les valeurs d’une constante de couplage αi = gi2/2π à deux

échelles d’énergies différentes Q1 et Q2 sont reliées par la relation (valable à une boucle) :

1 αi(Q1) = 1 αi(Q2) + bi 2π ln  Q2 Q1  . (1.32)

La mesure de ces couplages à une énergie donnée nous permet donc de connaitre leur valeur à n’importe quelle énergie. Dans le MS, les coefficients bi sont donnés par :

b1 = 4 3Ng + 1 10NH = 41 10, (1.33) b2 = 4 3Ng + 1 6NH − 22 3 = 19 6 , (1.34) b3 = 4 3Ng − 11 = −7, (1.35)

où Ng et NH sont respectivement les nombres de générations et de doublet de Higgs. Le couplage

g3 diminue donc avec l’énergie, tandis que g1 et g2 augmentent, le premier plus rapidement que

le deuxième. L’écart entre couplages va donc diminuer, pour éventuellement converger vers une valeur commune. Dans le MS, ce n’est pas le cas, comme le montre la figure 1.2. Cependant, l’ajout de nouvelles particules et nouveaux couplages dans une extension du MS va modifier les coefficients bi. On s’attend ainsi à voir émerger une théorie plus fondamentale unifiant les

trois constantes de couplage à une certaine énergie. Ces théories de Grande Unification (GUT en anglais, pour "Grand Unified Theories") sont basées sur un nouveau groupe de jauge G qui englobe celui du Modèle Standard [13], qui, une fois brisé à notre échelle, redonne les trois forces fondamentales.

Par ailleurs, le nombre de génerations, l’origine des couplages de Yukawa et de la structure de saveurs ne sont également pas compris.

Figure1.2 : Évolution des constantes de couplage dans le Modèle Standard [14].

Le Modèle Standard présente également un important problème de naturalité, aussi appelé problème de hiérarchie, en raison de l’instabilité du secteur électrofaible vis à vis des corrections radiatives. Comme on l’a vu, équations (1.29,1.31), les masses des bosons et des fermions sont proportionnelles à la vev du champ de Higgs, elle-même reliée à la masse du boson de Higgs, équation (1.24). Ainsi, d’importantes corrections radiatives à la masse du boson de Higgs impliqueront également de grandes corrections aux masses des autres particules.

Figure 1.3 : Contribution d’un fermion f à la self-énergie du boson de Higgs

Sur la figure 1.3, on voit la contribution à une boucle d’un fermion f, dont la masse mf = yfv

est générée par interaction avec le champ de Higgs via les couplages de Yukawa, à la self-énergie du boson de Higgs. Le calcul donne :

iΣf_h0(q) = (−1) Z _d4_k (2π)4T r " −iλf √ 2  i(✓✓_{k + mf)} k2_{− m}2 f + iǫ  −iλf √ 2  i(✓✓_{k +✁q + mf)} (k + q)2_{− m}2 f + iǫ # . (1.36) Cette contribution fermionique présente une partie indépendante de q, que l’on peut calculer en mettant simplement q = 0 dans l’équation ci-dessus :

iΣf_h0(0) = −2λ2_f Z _d4_k (2π)4 k2_{+ m}2 f (k2_{− m}2 f)2 = −2λ2f Z _d4_k (2π)4 " 1 k2_{− m}2 f + 2m 2 f (k2_{− m}2 f)2 # . (1.37)

1.4. LES LIMITES DU MODÈLE STANDARD Cette intégrale étant divergente, on peut de nouveau imposer une coupure Λ à la borne supé-rieure d’intégration sur |k|. On obtient donc une correction, indépendante de l’impulsion q, à la masse du boson de Higgs :

δm2_h0 = λ2 f 8π2  −Λ2+ 6m2_fln  Λ mf  . (1.38)

On voit alors apparaitre une divergence quadratique de la "self-énergie" du champ de Higgs. La coupure Λ est arbitraire. Si le modèle standard était complet et valide jusqu’à l’échelle de Planck où l’on s’attend à ce que la gravité joue un rôle, cela signifierait que Λ = MP l ∼ 1019

GeV. D’après l’équation (1.38), la correction à la masse du Higgs serait du même ordre : il faudrait donc régulariser très précisément cette divergence pour obtenir une masse corrigée du Higgs de 125 GeV. De plus, les masses des fermions et des particules vectorielles étant générées dynamiquement par le mécanisme de Brout-Englert-Higgs, c’est tout le spectre du modèle standard qui devient très sensible à cette correction. Cela rend la théorie non naturelle et crée le problème de hiérarchie. La possibilité la plus envisageable est que le modèle standard n’est pas complet. Dans ce cas, Λ correspond à l’échelle d’apparition de la nouvelle physique, bien en dessous de l’échelle de Planck. On s’attend alors à ce que l’extension du modèle standard qui en découle apporte une solution au problème de hiérarchie, avec par exemple une nouvelle symétrie protégeant également les particules scalaires. Ce qui est le cas, comme nous allons le voir au prochain chapitre, de la supersymétrie.

Chapitre 2

La supersymétrie

2.1

Introduction

2.1.1

Une solution au problème de hiérarchie

Comme mentionné au chapitre précédent, le modèle standard présente un problème de hiérar-chie dû à la divergence quadratique des corrections radiatives à la masse du boson de Higgs. Ce n’est pas le cas des autres particules du modèle standard pour lesquelles ces corrections sont protégées par des symétries qui permettent de ramener ces divergences à une dépendance seulement logarithmique.

Figure2.1 : Diagramme corrigeant la self-énergie du photon à une boucle.

On peut prendre l’exemple du photon : cette particule de masse nulle doit voir ses corrections s’annuler à tous les ordres. A une boucle, la correction à la self-énergie du photon Πµν

1boucle

est représentée par le diagramme de Feynman de la figure 3.3, où n’importe quelle particule chargée peut être présente dans la boucle. En appliquant les règles de Feynman, on peut calculer l’amplitude associée à ce diagramme :

iΠµν_{1−boucle = −(−ie)}2

Z _d4_k (2π)4Tr  γµ i(✓✓k + m) k2_{− m}2_{+ iǫ}γ ν i(✓✓k +✁q + m) (k + q)2_{− m}2_{+ iǫ}  . (2.1) Pour de grandes valeurs de |k|, qui est en principe intégré de 0 à l’infini, le terme entre crochets est proportionnel à 1

k2. À une constante près, la mesure d’intégration est d4k ∼ k3dk. L’intégrant devient donc proportionnel à k, l’intégrale est divergente. Si on coupe l’intégrale en imposant une borne supérieure Λ, on s’attend a priori à obtenir une divergence quadratique

∼RΛ|k|d|k| ∼ Λ2_{. Cependant, l’invariance de jauge implique que la self-énergie doit s’exprimer}

sous la forme1 _:

Πµν(q) = (q2ηµν_{− q}µqν)π(q2) , (2.2) où π(q2_{) est relié à la dérivée seconde de la self-énergie Π}µν_{(q). À partir de l’équation (2.1), on}

peut voir que dériver par rapport à qρ_{fait sortir un terme se comportant en |k|}−1_{pour de grandes}

valeurs de |k|. Ainsi, en dérivant deux fois, on obtient un intégrant qui se comporte en |k|−1_.

On en déduit que π(q2_{) ne contient désormais plus qu’une divergence logarithmique. Le calcul}

détaillé permet d’extraire cette divergence résiduelle. La symétrie de jauge électromagnétique U(1) permet donc de réduire la divergence de la self-énergie du photon. D’une façon générale, les symétries de jauge permettent de protéger les masses des bosons de jauge. Pour les fermions, c’est la symétrie chirale qui assure cette protection.

Le boson de Higgs n’est protégé par aucune symétrie dans le Modèle Standard dont il est la seule particule scalaire. La contribution des fermions à la correction radiative à la masse du Higgs fait donc apparaitre la dangereuse divergence quadratique, équation (1.38). La supersy-métrie a pour avantage de ramener cette divergence à une simple dépendance logarithmique, comme on le verra ci-dessous.

Figure2.2 : Contribution d’un scalaire S à la self-énergie du boson de Higgs

Avant d’expliquer le principe de cette nouvelle symétrie, étudions d’abord l’effet d’une nou-velle particule scalaire S qui se couplerait au champ de Higgs par le lagrangien d’interaction suivant :

Lint= −λS|H|2S2 . (2.3)

Cette interaction apporte une nouvelle correction à la masse du Higgs comme le montre le diagramme de la figure 2.2. La contribution scalaire à la self-énergie du boson de Higgs est :

iΣ2_h0 = −λ_s Z _d4_k (2π)4 i k2_{− m}2 s . (2.4)

L’intégrale est divergente. En appliquant la coupure Λ, on obtient la correction : δm2_h0 = λs 16π2  Λ2_{− 2m}2_sln  Λ ms  + ...  . (2.5) 1

2.2. CONSTRUCTION DE LA SUPERSYMÉTRIE Nous retrouvons à nouveau une divergence quadratique. Cependant, en comparant avec l’équa-tion (1.38), on remarque que cette divergence apparait avec un signe opposé. Mieux encore, avec une symétrie qui impose cette relation entre les couplages,

λs = λ2f , (2.6)

on voit que la somme des deux contributions fermionique et scalaire à la correction à la masse du boson de Higgs vont annuler la divergence quadratique pour ne laisser que la divergence logarithmique. Ceci est vrai à condition d’avoir deux champs scalaires avec le même couplage λs, du fait du facteur 2 relatif entre les deux contributions, c’est-à-dire si le nombre de degrés

de liberté bosoniques est égal au nombre de degrés de liberté fermioniques. Ces conditions sont satisfaites par la supersymétrie : cette symétrie de l’espace-temps relie les fermions aux bosons de la manière requise, apportant ainsi une solution au problème de hiérarchie. Le secteur de Higgs ne présente alors plus que des divergences du même ordre que celles qui apparaissent dans les secteurs fermionique et de jauge.

2.1.2

Unification des constantes de couplage

La présence de partenaires supersymétriques aux particules du Modèle Standard, ainsi que la présence d’un second doublet de Higgs, vont modifier les équations du groupe de renormalisation pour les constantes de couplages. Les coefficients bi de l’équation (1.32) deviennent :

b1 =2Ng+ 3 10NH, (2.7) b2 =2Ng+ 1 2NH − 6, (2.8) b3 =2Ng− 9. (2.9)

Dans les extensions minimales considérées ensuite, le nombre de générations Ng est toujours 3

et le nombre de doublets de Higgs NH de 2. Dans ce cas, l’évolution des constantes de couplage

est représentée sur la figure 2.3. On constate alors que les constantes de couplage convergent vers une valeur commune à un échelle d’unification de l’ordre de 1016 _{GeV. La supersymétrie}

permet ainsi d’unifier interactions électrofaible et forte à haute énergie.

2.2

Construction de la supersymétrie

Comme chaque symétrie, la supersymétrie possède des générateurs, par paire, Q et Q†_{, associés}

à des courants et des charges supersymétriques qui sont conservés. La différence ici est que ces opérateurs sont fermioniques de spin 1/2, c’est à dire qu’ils transforment boson en fermion et réciproquement :

Q |bosoni = |fermioni , Q |fermioni = |bosoni . (2.10) En principe, il est possible d’avoir N couples d’opérateurs supersymétriques (Qi, Q†i)i=1..N.

Figure 2.3 : Évolution des constantes de couplage en Supersymétrie N=1 (traits pleins) et dans le Modèle Standard (tirets) [15].

théorie n’est plus chirale dans un espace à seulement quatre dimensions, ce qui pose des pro-blèmes d’ordre phénoménologique. Nous ne nous intéresserons donc ici qu’à la supersymétrie N=1 : chaque particule possède un seul partenaire supersymétrique avec lequel elle forme un supermultiplet qui correspond à une représentation irréductible de l’algèbre supersymétrique. Chaque supermultiplet est ainsi constitué d’un boson et d’un fermion. Il n’y a également qu’un seul couple de générateurs Q et Q† _{qui vérifient les relations de commutation et}

d’anticommu-tation suivantes, n Qα, Q†_β˙ o = 2σµ_{α ˙β}Pµ, (2.11) {Qα, Qβ} = {Q†α˙, Q†_β˙} = 0, (2.12) [Pµ_{, Q] =}Pµ_{, Q}† = 0, (2.13) où σµ_{= (1, σ}

i) avec σi les matrices de Pauli, Pµ est le générateur des translations et α, β, ˙α et

˙

β sont des indices spinoriels prenant la valeur 1 ou 2. Nous suivons par ailleurs la convention pour laquelle ces indices ont un point s’ils s’appliquent à un spineur de chiralité droite et pas de point dans le cas contraire.

La relation (2.11) nous montre que l’action successive de deux transformations supersymé-triques, nécessairement une transformation de spin 1, revient à effectuer une translation dans l’espace-temps. La relation de commutation (2.13) implique également que l’opérateur P2

com-mute avec les générateurs de la supersymétrie. Les particules d’un même supermultiplet doivent donc avoir la même masse. Si c’était réellement le cas, la supersymétrie aurait depuis longtemps été découverte, puisque le spectre des superpartenaires serait le même que celui du MS. Cela indique que la supersymétrie est nécessairement brisée : des termes de masses générés par cette brisure décalent le spectre supersymétrique comme nous le verrons plus en détail par la suite. Les générateurs supersymétriques commutent également avec les générateurs des symétries de jauge, ce qui signifie que les membres d’un même supermultiplet appartiennent à la même re-présentation de jauge : ils possèdent les mêmes nombres quantiques. Cette dernière remarque

2.3. LE FORMALISME : SUPERCHAMPS ET SUPERPOTENTIEL montre déjà qu’un fermion chiral du MS ne peut pas avoir comme superpartenaire un boson de jauge qui appartient à la représentation adjointe du groupe de jauge considéré.

2.3

Le formalisme : superchamps et superpotentiel

Comme nous l’avons évoqué, en supersymétrie, les particules sont regroupés dans des supermul-tiplets décrits par des superchamps, ceux-ci ont le même nombre de degrés de liberté bosoniques et fermioniques. Dans le MS, il existe des particules de spin 0, 1/2 ou 1. Comme les deux parti-cules associés dans un superchamp ne diffèrent, par construction, que d’un spin 1/2, on distingue deux types de superchamps : les superchamps chiraux (ou de matière) et les superchamps de jauge. Les premiers associent un champ scalaire avec un spineur de Weyl. Les seconds associent un champ de jauge avec un spineur de Majorana.

Une des motivations phénoménologiques de la supersymétrie étant d’obtenir la relation entre couplages de l’équation (2.6), il est naturel de penser que ces couplages ont une origine commune. Et en effet, les couplages des particules d’un même multiplet sont générés par des interactions directement entre superchamps. Le formalisme des superchamps permet de ras-sembler ces interactions dans un superpotentiel duquel on peut dériver ensuite le Lagrangien d’interaction.

Nous allons maintenant détailler ces différents points.

2.3.1

Les superchamps

Les superchamps associent des particules de spin différents. Pour pouvoir les définir, il est nécessaire d’introduire, en plus de l’habituelle variable de position dans l’espace-temps xµ_{, des}

nouvelles variables spinorielles anticommutantes, θ et θ†_{, de dimension [mass]}−1/2_{. Ces variables}

vérifient les relations d’anticommutation de l’algèbre grassmaniennes :

{θα, θβ} = {θα, θ†_β˙} = {θ†α˙, θ†_β˙} = 0 (2.14)

Ainsi, un point du superespace est caractérisé par un set de variables (xµ_{, θ, θ}†_{). L’expression}

générale d’un superchamp S peut alors s’écrire comme un polynôme en θ et θ† _:

S(x, θ, θ†) =f (x) + θψ(x) + θ†χ†(x) + θθm(x) + θ†θ†n(x)

+ θσµθ†vµ(x) + θθθ†λ†(x) + θ†θ†θρ(x) + θθθ†θ†d(x). (2.15)

Aucun autre terme ne peut s’ajouter du fait des propriétes des variables grassmaniennes. Dans cette expression, on voit apparaitre 5 champs bosoniques f, m, n, d et vµainsi que 4 spineurs ψ,

χ†_{, λ}†_{et ρ. Nous avons donc un nombre égal de degrés de libertés bosoniques et fermioniques, 16}

(2 degrés de liberté pour chaque champ scalaire complexe f, m, n, d, 8 pour le champ vectoriel complexe vµet 4 pour chaque spineur de Weyl à deux composantes complexes). Cependant, les

superchamps chiraux ou de jauge ne possèdent pas autant de degrés de liberté. Des contraintes sur leurs définitions respectives vont réduire ce nombre de degrés de liberté.

Superchamps chiraux

Un superchamp chiral doit vérifier la contrainte suivante,

D†_α˙Φ(x, θ, θ†) = 0, (2.16)

où D† ˙

α est une des dérivées covariantes chirales, définies dans le superespace par :

Dα = ∂ ∂θα + i(σ µ_θ†₎ α∂µ, Dα = − ∂ ∂θα + i(θ†σ¯µ)α∂µ, D† ˙α = ∂ ∂θ†_α˙ + i(¯σ µ_θ)α˙_∂ µ, D†α˙ = − ∂ ∂θ† ˙α − i(θσ µ₎ ˙ α∂µ. (2.17)

En effectuant le changement de variable yµ _{≡ x}µ_{+ iθσ}µ_θ†_{, la dérivée intervenant dans la}

défini-tion du superchamp chiral devient simplement D† ˙ α = _∂θ∂†

˙ α

. Cela permet d’en déduire facilement l’expression d’un superchamp chiral,

Φ(y, θ) = φ(y) +√2θψ(y) + θθF (y), (2.18) où le facteur √2 est une convention. Nous voyons apparaitre les deux champs requis : un champ scalaire φ ainsi qu’un spineur de Weyl ψ. Le troisième champ F est un champ scalaire et complexe. Il s’agit d’un champ auxiliaire, c’est-à dire non physique, qui est nécessaire pour la cohérence de la supersymétrie lorsque les champs ne sont pas sur couche de masse : en effet, sur couche de masse, φ et ψ apportent respectivement deux degrés de libertés bosoniques et fermioniques et l’équation du mouvement pour F rendent ce champ identiquement nul en l’absence d’interactions (dans le cas contraire, ce champ s’exprime en fonction des composantes scalaires des superchamps chiraux qui interagissent entre eux). En revanche, hors couche de masse, ψ est un spineur à deux composantes complexe et correspond alors à quatre degrés de liberté tandis que φ n’en possède toujours que deux : F permet d’apporter les deux degrés bosoniques manquant.

Sous une transformation supersymétrique, paramétrée par un spineur infinitésimal ǫ (les générateurs supersymétriques étant par construction de spin 1/2), les différentes composantes d’un superchamp chiral se transforment de la façon suivante :

δǫφ = √ 2ǫψ, (2.19) δǫψ = √ 2ǫF −√2∂µφσµξ, (2.20) δǫF =i √ 2∂µψσµξ†. (2.21)

Nous remarquons par ces équations que l’algèbre supersymétrique est fermée, le superchamp chiral forme bien une représentation irréductible.

Tous les fermions du MS appartiennent à des superchamps chiraux. Les fermions de Dirac possèdent chacun deux superpartenaires scalaires, un pour chaque chiralité, appelés sfermions. Seul le neutrino, dont seule la partie gauche existe, ne possède qu’un superpartenaire, le sneu-trino2_{. Le boson de Higgs forme également un superchamp avec un fermion appelé higgsino.}

Nous verrons qu’il existe en fait au moins deux superchamps de Higgs en supersymétrie.

2

Il est possible de rajouter une partie droite au neutrino, mais cela ne rentre pas dans le cadre du modèle minimal.

2.3. LE FORMALISME : SUPERCHAMPS ET SUPERPOTENTIEL Il est possible de construire simplement des nouveaux superchamps chiraux. En effet, les propriétés des variables grassmaniennes impliquent que le produit de plusieurs champs chiraux de la forme (2.18) sera lui même un polynôme d’ordre 2 en θ ne dépendant pas de θ†_{. Ainsi,}

toute fonction holomorphe de superchamps chiraux sera également un superchamp chiral. De manière générale, partant de l’expression générale d’un superchamp S, équation (2.15), il est possible de construire un superchamp chiral en appliquant deux fois la dérivée covariante chirale suivante :

Φ(y, θ) = D†2S(y, θ, θ†_{) ≡ D}†_α˙D† ˙αS(y, θ, θ†). (2.22) L’action des dérivées a en effet pour effet d’enlever la dépendance en θ†_{, Φ satisfait donc bien}

la contrainte (2.16). Superchamps de jauge

Un superchamp de jauge V est défini comme étant réel, V = V∗_{. Cela revient à imposer les}

contraintes suivantes sur les différents champs apparaissant dans l’expression génerale 2.15 : f = f∗, ξ = χ, n = m∗, vµ= vµ∗, ρ = λ, d = d∗. (2.23)

Parmi ces champs, vµ ≡ Aµ et λ correspondent aux champs vectoriels et spinoriels qui

com-posent ce superchamp. Les champs f, χ et n n’ont pas des signification physique et peuvent être éliminés en effectuant une transformation de jauge appropriée pour se placer par exemple dans la superjauge de Wess-Zumino. Le champ d est un champ auxiliaire qui joue le même rôle que F pour les superchamps chiraux : hors couche de masse, Aµ correspond à trois degrés de

libertés bosoniques et λ à quatre fermioniques, d apporte le degré bosonique manquant. Un superchamp vectoriel s’écrit donc,

VW Z(x, θ, θ†) = −θσµθ†Aµ(x) + iθθθ†λ†(x) − iθ†θ†θλ(x) +

1 2θθθ

†_θ†_{D(x), (2.24)}

où les composantes se comportent de la manière suivante sous une transformation supersymé-trique : δǫλα= − iDǫα− 1 2(σ µ_σ¯ν₎β αǫβGµν, (2.25) δǫAµ=i(ǫσµλ†− λσµǫ†) (2.26) δǫD =∂µ(−ǫσµλ†+ λσµǫ†), (2.27)

où Gµν = ∂µAν − ∂νAµ est le tenseur de Maxwell.

Les bosons de jauge du modèle standard appartiennent à des superchamps de jauge. Leurs superpartenaires sont appelés les jauginos. Pour construire un nouveau superchamp vectoriel à partir d’un superchamp quelconque S, il suffit d’en prendre une combinaison réelle, telle que S + S† _{ou encore S}†_{S. En particulier, il est possible d’obtenir facilement un superchamp}