A4901. Jeux de bascule ***
Q1 Zig écrit une suite croissante S1 de n entiers consécutifs strictement positifs qui contient exactement un carré parfait.
Il met le signe "+" devant ce carré et tous les entiers qui le précédent et le signe "−" devant tous les autres entiers. Il constate que la somme de tous les termes est nulle. Déterminer la plus petite valeur possible de n ainsi que les termes correspondants de la suite S1.
Q2 Il écrit ensuite sur une même ligne la suite croissante S2 des n entiers naturels consécutifs en partant de l'entier 1 auquel il affecte le signe "+" puis il place devant chaque entier le même signe ("+ ou "−") que celui de l'entier précédent avec la seule particularité de changer de signe après l'écriture d'un carré parfait. Les premiers termes de S2 sont alors : + 1, −2, − 3, − 4, + 5, + 6, + 7, + 8, + 9, − 10, − 11, etc....Il calcule en même temps sur une deuxième ligne le cumul C(n) des entiers relatifs qu'il a écrits : + 1, − 1, − 4, − 8, − 3, + 3 , + 10 etc...
a) n est un carré parfait, n = p2.
Déterminer la valeur de C(n) en fonction de p. Application numérique: p = 2018 puis p = 2019.
b) Zig arrête ses calculs quand il observe que le cumul C(n) est égal à + 76971 pour la première fois. Déterminer la valeur de n.
c) Pour les plus courageux disposant d'un automate
Déterminer les valeurs de n, de p et de q (q > p > 0) telles que Zig observe pour la première fois C(n) = C(n + p) = C(n + q) > 0.
Q1 : n = 45
S
1:
146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168169
-170 -171 -172 -173 -174 -175 -176 -177 -178 -179 -180 -181 -182 -183 -184 -185 -186 -187 -188 -189 -190
