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*** Q1 Zig écrit une suite croissante S

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

A4901. Jeux de bascule

***

Q1 Zig écrit une suite croissante S1 de n entiers consécutifs strictement positifs qui contient exactement un carré parfait. Il met le signe "+" devant ce carré et tous les entiers qui le précédent et le signe "−" devant tous les autres entiers. Il constate que la somme de tous les termes est nulle. Déterminer la plus petite valeur possible de n ainsi que les termes correspondants de la suite S1.

Q2 Il écrit ensuite sur une même ligne la suite croissante S2 des n entiers naturels consécutifs en partant de l'entier 1 auquel il affecte le signe "+" puis il place devant chaque entier le même signe ("+ ou "−") que celui de l'entier précédent avec la seule particularité de changer de signe après l'écriture d'un carré parfait. Les premiers termes de S2 sont alors : + 1, −2, − 3, − 4, + 5, + 6, + 7, + 8, + 9, − 10, − 11, etc....Il calcule en même temps sur une deuxième ligne le cumul C(n) des entiers relatifs qu'il a écrits : + 1, − 1, − 4, − 8, − 3, + 3 , + 10 etc...

a) n est un carré parfait, n = p2. Déterminer la valeur de C(n) en fonction de p. Application numérique: p = 2018 puis p = 2019.

b) Zig arrête ses calculs quand il observe que le cumul C(n) est égal à + 76971 pour la première fois. Déterminer la valeur de n.

c) Pour les plus courageux disposant d'un automate

Déterminer les valeurs de n, de p et de q (q > p > 0) telles que Zig observe pour la première fois C(n) = C(n + p) = C(n + q) > 0.

Q1

Suite S1 trouvée autour de 13² avec une somme de 3780, 23 termes avant et 21 termes après :

146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190.

Q2 a)

EXEMPLES Suite S2 jusqu’à 100

1,-2,-3,-4,5,6,7,8,9,-10,-11,-12,-13,-14,-15,-16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,-26,-27,-28,-29,-30,-31,- 32,-33,-34,-35,-36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,-50,-51,-52,-53,-54,-55,-56,-57,-58,-59,- 60,-61,-62,-63,-64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,-82,-83,-84,-85,-86,-87,-88,- 89,-90,-91,-92,-93,-94,-95,-96,-97,-98,-99,-100

Suite C jusqu’à 100

1,-1,-4,-8,-3,3,10,18, 27,17,6,-6,-19,-33,-48,-64,-47,-29,-10,10,31,53,76,100, 125,99,72,44,15,-15,-46,-78,-111,-145,-180, -216,-179,-141,-102,-62,-21,21,64,108,153,199,246,294,343,293,242,190,137,83,28,-28,-85,-143,-202,-262,-323,-385,-448, -512,-447,-381,-314,-246,-177,-107,-36,36,109,183,258,334,411,489,568,648, 729, 647,564,480,395,309,222,134,45,-45,-136 ,-228,-321,-415,-510,-606,-703,-801,-900,-1000

C(1) = 1 ;

C(2) = -1 ; C(3) = -4 ; C(4) = -8 ;

R ÉSULTATS Pour k² = 1² => 1 Pour k² = 2² => -8 Pour k² = 3² => 27 etc.

Nous allons montrer par récurrence sur p que :

C(p²) = (-1)

p+1

* p

3

(2)

EXPLICATION

En utilisant la somme S des entiers naturels de 1 à n : S =n(n+1)/2, on trouve que, limites comprises, entre deux carrés, de p²+1 à (p+1)² +1 la somme est :

S

p= (p+1)² (p+1)²+1) /2 - p² (p²+1)/2 

S

p = 2p3 +3p² +3p +1

Nous avons :

C(1²)

= 1

C(2²)

= -23

C(3²)

= 1 - S1 + S2 = 1 - 9 + 35 = 27 = 33

C(4²)

= 1 - S1 + S2 –S3 = 27 – 91 = -64 = - 43 .

Effectuons une récurrence rapide sur n,

Si n pair, alors

C(n²)

= C((n-1)²) – Sn = (n-1)3 – Sn-1

C(n²)

= (n-1)3 – 2(n-1)3 - 3(n-1)² - 3(n-1) - 1 = - n3

De même si n est impair, nous trouvons :

C(n²)

= C((n-1)²) – Sn = - (n-1)3 + Sn-1

C(n²)

= -(n-1)3 + 2(n-1)3 + 3(n-1)² + 3(n-1) + 1 = n3 Ainsi :

C(2018²) = (-1)

2018+1

* 2018

3

C(2018²) = -

8 217 949 832 C(2019²) = 8 230 172 859

b)

C(n)

= 76971

C’est un nombre positif, donc le nombre cherché se trouve quelque part entre le carré de nombres impairs.

Cependant la suite C(n) n’est pas monotone. Il faut donc chercher un peu.

Regardons le carré de quelques nombres impairs dont le C(n) est positif.

C(41²) = 413 = 68921 C(43²) = 433 = 79507 C(45²) = 453 = 91125

Nous sommes très proches de la racine carrée de 2018, c’est tentant !

Après vérification, nous trouvons bien pour la première fois :

C(2018) = 76791

.

C( 1990 )= 20845 C( 1991 ) = 22836 C( 1992 ) = 24828 C( 1993 ) = 26821 C( 1994 ) = 28815 C( 1995 ) = 30810

C( 1996 ) = 32806 C( 1997 ) = 34803 C( 1998 ) = 36801 C( 1999 ) = 38800 C( 2000 ) = 40800 C( 2001 ) = 42801

C( 2002 ) = 44803 C( 2003 ) = 46806 C( 2004 ) = 48810 C( 2005 ) = 50815 C( 2006 ) = 52821 C( 2007 ) = 54828

C( 2008 ) = 56836 C( 2009 ) = 58845 C( 2010 ) = 60855 C( 2011 ) = 62866 C( 2012 ) = 64878 C( 2013 ) = 66891

C( 2014 ) = 68905 C( 2015 ) = 70920 C( 2016 ) = 72936 C( 2017 ) = 74953 C( 2018 ) = 76971

(3)

c)

Déterminer les valeurs de n, de p et de q (q > p > 0) telles que Zig observe pour la première fois C(n) = C(n + p) = C(n + q) > 0.

Nous trouvons :

C (1520) = 57 798 C (10 511) = 57 798 C (16 515) = 57 798

Finalement prendre

n = 1 520

p = 8 991 q = 14 995

Fonction recherche Q2c(tab) :

D’abord construire le tableau tabC des valeurs C(n) jusqu’à un certain rang (ici j’ai cherché jusqu’à 18000)…

On cherche le rang d’une valeur triple dans ce tableau.

Pour chaque valeur, je regarde si elle est double dans le tableau. Si oui je l’élimine et regarde encore une fois si elle existe.

Si c’est le cas, OK c’est gagné , ne reste plus qu’à donner son vrai rang dans le tableau complet : parcours simple du tableau tabC initial complet.

//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

function Q2c (tabC) {

for (var i=1; i<=tabC.length; i++) { var v=tabC[i];

var ind=tabC.indexOf(v);

if (v>0) { if ((ind!=-1)&&(ind!=i)) {

//rencontré deux fois et il faut encore le retrouver

//trace('trouvé deux fois aux indices ',i,' et ',ind,' la valeur ',v);

// on élimine du tableau tabC.splice(ind,1);

//1 élément de moins dans le tableau avant i , donc i devient i-1 tabC.splice(i-1,1);

//Et on recommence une autre recherche pour une 3ème position ind=tabC.indexOf(v);

if (ind!=-1) {trace('valeur ',v);

var id=ind+2;

trace('3ème rencontre YOUPEE !!!’) ; return true;

} }

} }

trace('terminé');

}

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