3.13 Calculons les premiers termes de la suite : u1 = (1+2)12−·(1+3)1 = 120 = 0
u2 = (2+2)22−·(2+3)1 = 203 = 0,15 u3 = (3+2)32−1·(3+3) = 308 = 154 ≈0,27 u4 = (4+2)·(4+3)42−1 = 1542 = 145 ≈0,36 u5 = (5+2)52−·(5+3)1 = 2456 = 37 ≈0,43 u6 = (6+2)62−·(6+3)1 = 3572 ≈0,49
S’il semble bien que la suite soit croissante, il s’avert en revanche plus difficile de deviner un majorant.
Le calcul u1000 = (1000+2)1000·2(1000+3)−1 = 1 005 006999 999 ≈ 0,995 prête à penser que 1 est un majorant.
1) Montrons que la suite (un)n∈N est croissante : un+1−un = (n+ 1)2−1
(n+ 1) + 2
(n+ 1) + 3 −
n2−1 (n+ 2) (n+ 3)
= n2+ 2n
(n+ 3) (n+ 4) − n2−1 (n+ 2) (n+ 3)
= (n2+ 2n) (n+ 2)−(n2−1) (n+ 4) (n+ 2) (n+ 3) (n+ 4)
= n3 + 2n2+ 2n2+ 4n−n3−4n2+n+ 4 (n+ 2) (n+ 3) (n+ 4)
= 5n+ 4
(n+ 2) (n+ 3) (n+ 4) >0
2) Prouvons que la suite (un)n∈N est majorée par1 : 1−un = 1− n2−1
(n+ 2) (n+ 3) = (n+ 2) (n+ 3)−(n2 −1) (n+ 2) (n+ 3)
= n2+ 3n+ 2n+ 6−n2+ 1
(n+ 2) (n+ 3) = 5n+ 7
(n+ 2) (n+ 3) >0
Attendu que toute suite croissante et majorée converge, on conclut que la suite (un)n∈N converge.
Analyse : limite et convergence d’une suite Corrigé 3.13
