A4901. Jeux de bascule
Q1 Zig écrit une suite croissante S1 de n entiers consécutifs strictement positifs qui contient exactement un carré parfait. Il met le signe "+" devant ce carré et tous les entiers qui le précédent et le signe "−" devant tous les autres entiers. Il constate que la somme de tous les termes est nulle. Déterminer la plus petite valeur possible de n ainsi que les termes correspondants de la suite S1.
Q2 Il écrit ensuite sur une même ligne la suite croissante S2 des n entiers naturels consécutifs en partant de l'entier 1 auquel il affecte le signe "+" puis il place devant chaque entier le même signe ("+ ou "−") que celui de l'entier précédent avec la seule particularité de changer de signe après l'écriture d'un carré parfait. Les premiers termes de S2 sont alors : + 1, −2, − 3, − 4, + 5, + 6, + 7, + 8, + 9, − 10,
− 11, etc....Il calcule en même temps sur une deuxième ligne le cumul C(n) des entiers relatifs qu'il a écrits : + 1, − 1, − 4, − 8, − 3, + 3 , + 10 etc...
a) n est un carré parfait, n = p2. Déterminer la valeur de C(n) en fonction de p.
Application numérique : p = 2018 puis p = 2019.
b) Zig arrête ses calculs quand il observe que le cumul C(n) est égal à + 76971 pour la première fois. Déterminer la valeur de n.
c) Pour les plus courageux disposant d'un automate.
Déterminer les valeurs de n, de p et de q (q > p > 0) telles que Zig observe pour la première fois C(n) = C(n + p) = C(n + q) > 0.
SOLUTION.
Q1 Soit 𝑘' le carré, 𝑎 le premier terme de 𝑆4 et 𝑏 le dernier terme de 𝑆4. 8 𝑖
:;
<=>
= 8 𝑖
@
<=:;A4
⇔ 1
2(𝑘'+ 1 − 𝑎)(𝑎 + 𝑘') =1
2(𝑏 − 𝑘')(𝑘'+ 1 + 𝑏) ⇔ 𝑏' + 𝑏 − 2𝑘'(𝑘'+ 1) + 𝑎'− 𝑎 = 0
Cette égalité est une équation du 2nd degré d’inconnue 𝑏.
Δ = 1 − 4[– 2𝑘'(𝑘'+ 1) + 𝑎'− 𝑎] = 8𝑘'(𝑘'+ 1) + 4𝑎(1 − 𝑎) + 1 et 𝑏 =– 1 + √Δ 2 . On cherche les solutions entières de cette équation. On a alors 𝑛 = 𝑏 − 𝑎 + 1.
Pour cela, il faut et il suffit que Δ soit un carré parfait.
Il est possible qu’avec un meilleur choix de variables ce problème puisse être résolu « manuellement ».
Pour ma part, j’ai recours à un automate.
Voici le programme en Python permettant de trouver les trois plus petites valeurs possibles de 𝑛.
Il renvoie :
Ainsi, la plus petite valeur de 𝒏 est 45 et les termes de 𝑺𝟏 sont alors tous les entiers compris entre 146 et 190.
Q2 a) On a 𝑪(𝟏𝟐) = 𝟏 et la relation de récurrence suivante : 𝑪((𝒑 + 𝟏)𝟐) = 𝐶(𝑝') + (– 1)k[(𝑝'+ 1) + (𝑝'+ 2) + ⋯ + (𝑝 + 1)']
= 𝐶(𝑝') + (– 1)k(2𝑝 + 1)𝑝'+ 1 + (𝑝 + 1)' = 𝑪(𝒑𝟐) + (– 𝟏)𝒑(𝟐𝒑 + 𝟏)(𝒑𝟐+ 𝒑 + 𝟏) 2
On montre par récurrence que : 𝑪(𝒑𝟐) = (– 𝟏)𝒑A𝟏𝒑𝟑. En effet : 𝑪(𝟏𝟐) = 𝟏 = (– 𝟏)𝟏A𝟏𝟏𝟑.
Et 𝑪((𝒑 + 𝟏)𝟐) = 𝐶(𝑝') + (– 1)k(2𝑝 + 1)(𝑝'+ 𝑝 + 1) = (– 1)kA4𝑝n+ (– 1)k(2𝑝 + 1)(𝑝'+ 𝑝 + 1) =– (– 1)k𝑝n+ (– 1)k(2𝑝n+ 3𝑝'+ 3𝑝 + 1) = (– 1)k(𝑝n+ 3𝑝'+ 3𝑝 + 1)
= (– 𝟏)𝒑A𝟐(𝒑 + 𝟏)𝟑
Conclusion : 𝑪(𝒏) = 𝑪(𝒑𝟐) = (– 𝟏)𝒑A𝟏𝒑𝟑
Application numérique : 𝑪(𝟐 𝟎𝟏𝟖) =– 𝟖 𝟐𝟏𝟕 𝟗𝟒𝟗 𝟖𝟑𝟐 et 𝑪(𝟐 𝟎𝟏𝟗) = 𝟖 𝟐𝟑𝟎 𝟏𝟕𝟐 𝟖𝟓𝟗 b) La question contient quasiment la réponse, qui est logiquement 2018 ou 2019…
Mais jouons tout de même le jeu…
Pour tout 𝑘 ∈ {1, … ,2𝑝 + 1} :
𝐶(𝑝'+ 𝑘) = (– 1)kA4𝑝n+ (– 1)k[(𝑝'+ 1) + (𝑝'+ 2) + ⋯ + (𝑝'+ 𝑘)]
= (– 1)kA4𝑝n + (– 1)k}𝑘𝑝'+𝑘(𝑘 + 1) 2 ~ = (– 1)k}𝑘𝑝'− 𝑝n+𝑘(𝑘 + 1)
2 ~ = (– 1)k}𝑝'(𝑘 − 𝑝) +𝑘(𝑘 + 1)
2 ~
Par ailleurs, d’après la question a) : ∀𝑛 ≤ 𝑝' , |𝐶(𝑛)| ≤ 𝑝n.
42n = 74 088 < 76 971 et 43n = 79 507 > 76 971 donc 𝑛 > 42' ⇔ 𝑛 > 1 764.
On trouve 𝐶(𝑝'+ 𝑘) = 76 971 pour (𝑝 ; 𝑘) = (44 ; 82) soit 𝑛 = 𝑝'+ 𝑘 = 2 018.
Le plus petit entier 𝑛 tel que 𝐶(𝑛) = 76 971 est 𝒏 = 𝟐 𝟎𝟏𝟖.
c)
Le programme ci-contre renvoie 𝐶(𝑛) et les trois premiers entiers 𝑛, 𝑛‹ et 𝑛‹‹ tels que :
𝐶(𝑛) = 𝐶(𝑛‹) = 𝐶(𝑛‹‹) > 0 soit :
Ainsi :
(𝒏 ; 𝒑 ; 𝒒) = (𝟏 𝟓𝟐𝟎 ; 𝟖 𝟗𝟗𝟏 ; 𝟏𝟒 𝟗𝟗𝟓)
Remarque : Le même programme avec 𝐶(𝑛) = 𝐶(𝑛‹) = 𝐶(𝑛‹‹) < 0 renvoie :
