Douine – Terminale S – Travail à distance 37 - CORRECTION
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Quotient intellectuel
Pour limiter « l’effet de tassement de la répartition du QI » aux extrémités, on étalonne le test de façon à ce que la variable aléatoire qui modélise le score suive une loi normale de même moyenne 100 mais avec un écart type plus grand. Déterminer cet écart type pour que 10% de la population ait un QI au moins égal à 130
On note 100 la moyenne et l’écart type.
Nous voulons déterminer la valeur de telle que
p X
130
0,10.
Nous commençons par modéliser le problème par le graphique suivant :
Puis nous travaillons sur l’égalité de la façon suivante :
130 0,10 130 0, 90
100 130 100
0, 90
30 0, 90 avec Z qui suit la N(0;1)
p X p X
p X
p Z
Nous utilisons la touche « Inverse Normale CD » de la calculatrice appliquée à la quantité « 0,90 » qui va nous donner la borne jusqu’à laquelle aller pour avoir 90% de l’aire de la courbe de Gauss.
Nous trouvons la valeur 1,282 et en déduisons que : 30
1, 282 23, 4
130
10%
Valeur de sigma ?
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Réglage d’un dispositif
Une entreprise conditionne et commercialise un désherbant liquide en bidons de 540 millilitres.
La machine qui remplit les bidons peut être réglée au moyen d’un dispositif gradué en millilitres.
Lorsque celui-ci est réglé sur la valeur m, le volume moyen de désherbant par bidon est m. On suppose que la variable aléatoire X qui, à tout bidon choisi au hasard dans la production, associe le volume en millilitres de désherbant qu’il contient, suit une loi normale d’espérance m et d’écart type 5. Sur quelle valeur de m faut-il régler le dispositif pour que la probabilité de l’événement
« X<550 » soit égale à 0,95 ? Arrondir à l’unité.
On note la moyenne et 5 l’écart type.
Nous voulons déterminer la valeur de telle que
p X
550
0, 95.
Nous commençons par modéliser le problème par le graphique suivant :
Puis nous travaillons sur l’égalité de la façon suivante :
550 0, 95
550 0, 95
5 5
550 0, 95 avec Z qui suit la N(0;1) 5
p X p X
p Z
Nous utilisons la touche « Inverse Normale CD » de la calculatrice appliquée à la quantité « 0,95 » qui va nous donner la borne jusqu’à laquelle aller pour avoir 95% de l’aire de la courbe de Gauss.
Nous trouvons la valeur 1,645 et en déduisons que :
550 1, 645 550 1, 645 5 542 5
550 95%
Valeur de la moyenne ?
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Réglage d’un autre dispositif
Une machine remplit des flacons de produit de nettoyage pour lentilles de contact. Dans la production d’une journée, on prélève au hasard un flacon. On désigne par V la variable aléatoire qui, à chaque flacon prélevé, associe le volume de produit contenu dans ce flacon, exprimé en ml.
On suppose que V suit la loi normale d’espérance 250 et d’écart type sigma Le réglage de la machine est paramétré de telle sorte que 95% des flacons contiennent entre 245 et 255 ml de produit. Quelle est la valeur de sigma ? Arrondir au millième.
On note 250 la moyenne et l’écart type.
Nous voulons déterminer la valeur de telle que
p
245X 255
0, 95.
Nous commençons par modéliser le problème par le graphique suivant :
Puis nous travaillons sur l’égalité de la façon suivante :
245 255 0,95
245 250 250 255 250
5 0,95
5 5
0,95 avec Z qui suit la N(0;1)
p 5 0,975 en se basant sur la symétrie de la courbe de Gauss
p X
p X
p Z
Z
Nous utilisons la touche « Inverse Normale CD » de la calculatrice appliquée à la quantité
« 0,975 » qui va nous donner la borne jusqu’à laquelle aller pour avoir 95% + 2,5% de l’aire de la courbe de Gauss.
Nous trouvons la valeur 1,645 et en déduisons que : 5 5
1,96 2,55
1,96
Dans cette dernière situation il est important de comprendre que la touche inverse normale de notre calculatrice ne va pas nous permettre de traiter directement le problème. Il faut toujours se ramener l’événement à une inégalité adaptée du type
Z
apour être en mesure de conclure.
255 95%
Valeur de sigma ?
245
