Pour les plus coura- geux, déterminer le plus petite valeur possible deN0

A367. Les entiers font de la résistance * à *****

Un entierNdekchiffres (k>1) est appelé "résistant" si la différenced(N,k) entre lui-même et la somme des puissances d’ordrekde ses chiffres est strictement positive.

Par exemple 12 est résistant car 12−1²−2²=7>0. A l’inverse 256 ne l’est pas car 256−2³−5³−6³= −93<0.

Q₁- Pour chacune des valeurs dekvariant de 1 à 10, déterminer le ou les entiersN tels qued(N,k) est maximal.

Q2- Démontrer qu’il existe un entierN0tel que tous les entiers>^N0sont résistants. Pour les plus coura- geux, déterminer le plus petite valeur possible deN₀.

Solution de Claude Felloneau Q₁- SiN=

k−1

X

i=0

a_i.10ⁱavec 06^ai69 pour 06ⁱ69 eta_k−16=0, alorsd(N,k)=

k−1

X

i=0

³a_i.10ⁱ−a^k_i´ . Sik=1,d(N,k)=0.

Sik >^{2, soit f}i la fonction définie sur [0,+∞[ par fi(x)=x.10ⁱ−x^k. Elle est dérivable sur [0,+∞[ et f_i⁰(x)=10ⁱ−kx^k−1.

f_iatteint sont maximum enm_k,i= µ10ⁱ

k

¶

1 k−1

. Le maximum defi(ai) est atteint pourai=£

m_k,i¤

ouai=£ m_k,i¤

+1.

On en déduit les valeurs dea_i puis les valeurs deNrendantd(N,k) maximal pourk>2 : k a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 N tel qued(N,k) maximal

2 0 ou 1 5 50 ou 51

3 0 ou 1 2 6 620 ou 621

4 0 ou 1 1 3 6 6310 ou 6311

5 0 ou 1 1 2 4 7 74210 ou 74211

6 0 ou 1 1 2 3 4 7 743210 ou 743211

7 0 ou 1 1 1 2 3 5 7 7532110 ou 7532111

8 0 ou 1 1 1 2 3 4 5 7 75432110 ou 75432111

9 0 ou 1 1 1 2 2 3 4 6 8 864322110 ou 864322111

10 0 ou 1 1 1 1 2 3 4 5 6 8 8654321110 ou 8654321111

Q2- La plus petite valeur deN0=102.10⁵⁷.

Le minimum defi(ai) est atteint pourai=0 ouai=9.

Pour 06ⁱ6^k−2,fi(0)=0 etfi(9)6⁰⇔10ⁱ6^9k−1⇔i6^(k−1) log₁₀(9)⇔i6^£(k−1) log₁₀(9)¤ . Pouri=k−1,f_k−1(1)=10^k−1−1 etf_k−1(9)=9.10^k−1−9^k=f_k−1(1)+8.10^k−1+1−9^k.

Doncf_k−1(9)>f_k−1(1)⇔8.10^k−1+1>9^k⇔8.10^k−1>9^k⇔0, 8>0, 9^k⇔k6^{log10(0, 8)}

log₁₀(0, 9)≈2, 12.

Ainsi sik>^3,fk−1(9)6^fk−1(1).

En posantu_k=£

(k−1) log₁₀(9)¤

+1, on au_k6^{ket pourk}>3, le minimum ded(N,k) est obtenu pour l’entierN=10^k−1+

u_k−1

X

i=0

9.10ⁱ. Ce minimum est

αk=10^k−1−1+

uk−1

X

i=0

³

9.10ⁱ−9^k´

=10^k−1+10^uk−2−9^kuk.

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αk+1−αk=10^k−10^k−1+10^uk+1−10^uk+9^kuk−9^k+1uk+1

Comme (k−1) log₁₀(9)6^uk6^(k−1) log₁₀(9)+1 etuk6^uk+1on a

αk+1−αk>^10k−10^k−1+9^k(k−1) log₁₀(9)−9^k+1(klog₁₀(9)+1) αk+1−αk>10^k−10^k−1+9^k¡

−8klog₁₀(9)−log₁₀(9)−9¢

αk+1−αk>9.10^k−1−9^k(8k+10)>9.10^k−1(1−δk) avec δk=0, 9^k−1(8k+10) δk+1

δk

=0, 9×4k+9

4k+5=0, 9+ 3, 6

4k+5<1 pourk>⁸

La suite (δk)_k>8est donc décroissante et on aδ60≈0, 98<1 doncαk+1−αk >0 pourk>60. La suite (αk)_k>60est donc croissante.

On aα61≈7, 2.10⁵⁸doncαk>0 lorsquek>^61.

On poseN₀=10⁶⁰. PourN>^N0,Ns’écrit aveckchiffres etk>^{61 doncd(N,k)}>αk>α61>0. DoncN est résistant.

Recherche de la plus petite valeurN₁deN₀. On aN16^1060.

Pourk=60,uk=58 etd(N,k) est égal au minimumα60≈ −1, 4.10⁵⁷siN=1009...9 avec 57 chiffres 9.

SoitN un nombre de 60 chiffres dont les 3 premiers chiffres sonta,b c.

Poura,b,cfixés,d(N, 60) est minimum, de valeurm, pourN=abc9...9 avec 57 chiffres 9.

Sia>2, ce minimum est supérieur ou égal à (a−1).10⁵⁹−a⁵⁹+1+α60. Doncm>¹⁰⁵⁹−9⁶⁰−1+α60≈9, 9.10⁵⁸doncd(N, 60)>0. AinsiN₁6^2.1059.

Sia=1 etb>1,m>b.10⁵⁸−b⁶⁰+α60>10⁵⁸−9⁶⁰+α60≈6, 7.10⁵⁷doncd(N, 60)>0. AinsiN1611.10⁵⁸. Sia=1,b=0 etc>^2,m=c.10⁵⁷−c⁶⁰+α60est minimum pourc=2 et vaut approximativement 5, 8.10⁵⁶ doncd(N, 60)>0. AinsiN₁6^102.1057.

Sia=1,b=0 etc=1,m=10⁵⁷−1+α60≈ −4.10⁵⁶doncd(N, 60)<0. DoncN>1019...9 avec 57 chiffres 9.

Finalement la plus petite valeur deN0est 102.10⁵⁷.

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