Déterminer la plus petite longueur possible du plus grand côté du triangle dont les trois sommets se trouvent respectivement sur les trois côtés du triangleABC

D649. Une longueur minimax ***

Soit un triangle ABC demi-équilatéral dont l’angle en A vaut 90° etBC=1. Déterminer la plus petite longueur possible du plus grand côté du triangle dont les trois sommets se trouvent respectivement sur les trois côtés du triangleABC. Construire à la règle et au compas le triangle correspondant.

Solution de Claude Felloneau

La plus petite longueur possible du plus grand côté du triangle dont les trois sommets se trouvent respectivement sur les trois côtés du triangleABCest égale à 1

2 r3

7.

• On suppose que le triangleM N Pest équilatéral.

A B

C

M

P N

On désigne parmetples abscisses des pointsMetP, et parnl’ordonnée deNdans le repère orthonormé³

A,−→ i ,−→

j ´ où−→

i =2−→

ABet→− i = 2

p3

−→AC. Le plan est orienté de sorte que³−→

AB,−→

AC´

≡π 2 [2π].

L’ordonnée deMestp 3

µ1 2−m

¶ .

Pest l’image deN par la rotation de centreMet d’angleπ/3. Donc p=1

2

³ 1+ip

3´ in+

µ m+ip

3 µ1

2−m

¶¶1 2

³ 1−ip

3´ .

Ce qui donne

2p= µ

−np 3+3

2−2m

¶ +i

µ n+p

3 µ1

2−2m

¶¶

. D’où

n=p 3

µ 2m−1

2

¶

et p=3 2−4m.

NetPsont sur les cotés du triangleABCsi et seulement si 1

46^m6³ 8. Ainsi

N P²=n²+p²=3 µ

4m²−2m+1 4

¶ +

µ9

4−12m+16m²

¶

soit

N P²=28m²−18m+3=28 µ

m− 9 28

¶2

+ 3 28. Le coté du triangleM N P est minimum lorsquem= 9

28 qui est compris entre 1 4 et 3

8. Ce minimum est L=

r 3 28=1

2 r3

7.

• SoitM N Pun triangle dont les trois sommets appartiennent aux côtés du triangleABC. Démon- trons que la longueur de l’un des côtés est supérieur ou égale àL.

C’est évident siM P>^{LouM N}>^L.

SiM P<LetM N<L, démontrons queN P>^L.

M P<LetM N <LetM A>^d(A,BC)= p3

4 >L donc le cercleC de centreM et de rayonLcoupe le

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segment [AN] enN1et coupe le segment [AP] enP1.

A B

C

M N1

P₁ N

P

Le cercleC a pour équation (x−m)²+

µ y+p

3 µ

m−1 2

¶¶2

= 3 28. L’ordonnée deN1estn1=p

3 µ1

2−m

¶

− r 3

28−m². L’abscisse deP1estp1=m−

s 3 28−3

µ m−1

2

¶2

. De plus,m=d(M,AC)<L<3

8 etp

3 µ1

2−m

¶

=d(M,AB)<L<

p3

4 doncm>1 4.

D’après la première partie, il existe un pointN₂de [AC] et un pointP2de [AB] tels que le triangleM N2P2est équilatéral.

L’ordonnée deN2estn2=p 3

µ 2m−1

2

¶ , L’abscisse deP2estp2=3

2−4m.

n1−n2=p

3(1−3m)− r 3

28−m²=1 a µ

3(1−3m)²− 3 28+m²

¶

=1 a µ

28m²−18m+81 28

¶

=28 a

µ m− 9

28

¶2

aveca=p

3(1−3m)+ r 3

28−m². Commem<L<1

3,a>0 doncn₁>ⁿ2. p1−p2=

µ 5m−3

2

¶

− s

3 28−3

µ m−1

2

¶2

=1 b

µµ 5m−3

2

¶2

− 3 28+3

µ m−1

2

¶2¶

=1 b µ

28m²−18m+81 28

¶

=28 b

µ m− 9

28

¶2

avecb= µ

5m−3 2

¶ +

s 3 28−3

µ m−1

2

¶2

. Commeb>0,p1>^p2.

On aAP>^p1>^p2etAN>ⁿ1>ⁿ2doncN P²=AN²+AP²>ⁿ²₂+p²₂=N2P₂²=L²d’oùN P>^L.

Ainsi, la longueur du plus grand côté de tout triangleM N P dont les sommets sont sur les côtés du tri- angleABCest supérieure ou égale àL.

Lest le minimum d’après la première partie.

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