P Qpermet de diminuer le plus grand côté du triangle isocèle obtenu

Enoncé D649 (Diophante) Une longueur minimax

Soit un triangle ABC demi-équilatéral dont l’angle en A vaut 90° et BC = 1. Déterminer la plus petite longueur possible du plus grand côté du triangle dont les trois sommets se trouvent respectivement sur les trois côtés du triangle ABC. Construire à la règle et au compas le triangle correspondant.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Lemme. Parmi les triangles inscrits, seul un triangle équilatéral minimise le plus grand côté.

Dans un triangle inscrit scalène,le plus grand côté fait un angle non droit avec le triangle donné en au moins une de ses extrémités. Déplaçant celle- ci, on réduit le plus grand côté quitte à en augmenter un autre.

Si le triangle inscrit est isocèle (P Q=P R), si QR est le plus grand côté, un cercle de centreP et de rayon> P Qpermet de diminuer le plus grand côté du triangle isocèle obtenu ; si QR est le plus petit côté, un rayon

< P Q fournit ce résultat.

Je prends les axesAxselonAB= 1/2,Ay selonAC=√ 3/2.

Un triangle équilatéral de côté ` touche AB en (`cost,0) et AC en (0, `sint). Le troisième sommet a pour coordonnées

x=`(cost+√

3 sint)/2,y=`(sint+√

3 cost)/2. Il doit être sur la droite BC d’équation 2x+ 2y/√

3 = 1, donc 1 =`(2 cost+ 4 sint/√

3) = (cost^p3/7 + sint^p4/7)`^p28/3.

La parenthèse au dernier membre est sin(t+ arctan(√

3/2)) et atteint son maximum 1 pour t = arctan(2/√

3). Cet angle fournit le plus petit côté

`=^p3/28.

Construction

D milieu de AB; E symétrique de D par rapport à B; CEF triangle équilatéral construit surCE du côté opposé à A;P = BC∩AF; Q sur AC et sur la parallèle à F C menée parP;R surAB et sur la parallèle à F E menée parP.

Justification

AE = 3/4, donc CEA = arctan(2/√

3) = t; F CE est homothétique de P QRpar l’homothétie de centre Aet de rapport AF/AP.