Enoncé D646 (Diophante) Trois indices pour un triangle
Construire à la règle et au compas un triangleABCdont on connaît l’angle au sommet Aainsi que les dimensions de la hauteurAH et de la médiane AM.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Construction
Partant de deux droites perpendiculaires se coupant en H, construire A par report de la longueurAH, puisM par le cercle (A, AM) de centreA et de rayon AM coupant enM la perpendiculaire en H à AH.
Reporter enHM X l’angleA donné. Le cercle (H, HM) coupeM X enF. Le cercle (M, AM) coupe AM en A0.
Mener de A la tangente au cercle (A0, M F), qui coupe en O la perpendi- culaire menée enM à HM.
Le cercle (O, OA) est le cercle circonscrit au triangleABC et coupe HM enB etC.
Justification
L’angleA =BOM =M OC, d’où OM =OBcosA=OAcosA. Une fois construit le triangle rectangle AHM, il s’agit de construire un triangle AOM dont on connaît la baseAM, l’angle enM (=HAM), et le rapport OM/OA.
La relation des sinus donne
sinM AO= (OM/OA) sinHAM = cosAsinHAM. La distance deA0 à AOest
2AMsinM AO = 2AMsinHAMcosA= 2HMcosA=M F.
