D649. Une longueur minimax MB
Soit un triangle ABC demi-équilatéral dont l’angle en A vaut 90° et BC = 1. Construire à la règle et au compas le triangle correspondant.
Déterminer la plus petite longueur possible du plus grand côté du triangle dont les trois sommets se trouvent respectivement sur les trois côtés du triangle ABC.
L'origine est en A. le point B sur Oy a pour ordonnée ½ et le point C sur Ox a pour abscisse √3/2 Le plus grand côté est minimum quand le triangle inscrit est équilatéral.
A tout point M(m,0) on sait associer un point N d'affixe ni sur AB tel que le triangle MNP soit équilatéral orienté dans le sens horaire, en choisissant n pour que P d'affixe p soit sur le côté BC : p – m = (ni – m) (1 – i√3)/2 p = [m + n√3 ]/2 + i [m√3 +n]/2
L'équation de la droite BC est 2x = (1 – 2y )√3
P est sur BC si [m + n√3 ] = [1 – m√3 – n ]√3 donc on choisit n = 1/2 – 2m/√3 . Alors MN² = m² + (1/2 – 2m/√3)² = (28m² – 8m√3 + 3) /12
Cette fonction présente un minimum égal à 3/28 pour m = √3 /7, qui implique n = 1/2 – 2 /7 = 3/14 La plus petite longueur possible du plus grand côté du triangle dont les trois sommets se
trouvent respectivement sur les trois côtés du triangle ABC est √(3/28) = √(3/7) / 2 On devra construire M tel que AM = (2/7).AC et N tel que AN = (3/7).AB.
Sur l'axe Ox on porte, à l'aide du compas, 7 segments égaux consécutifs, T étant l'extrémité droite du dernier segment (on suppose AT > AC) .
On sait élever depuis C une perpendiculaire à Ox et depuis B une perpendiculaire à Oy. Ces deux droites sont coupées en T1 et T2 par le cercle de centre A et rayon AT. On trace les segments AT1 et AT2.
Des arcs de cercles convenables conduisent à m sur OT1 et n sur OT2. On sait construire les perpendiculaires mM et nN à Ox et Oy.
Deux arcs de cercle de centres M et N se coupent en P . On peut tracer le triangle équilatéral MNP.
D 4 9 0 1
‒ P a v a g e s d ' h e x a g o n e s [
*
*
* à l a m a i n ] A v e c n t r i a n g l e s é
