D649. Une longueur minimax
Soit un triangle ABC demi-équilatéral dont l’angle en A vaut 90° et BC = 1. Déterminer la plus petite longueur possible du plus grand côté du triangle dont les trois sommets se trouvent respectivement sur les trois côtés du triangle ABC. Construire à la règle et au compas le triangle correspondant.
Proposition de solution Phase 1
Soit le segment K1L1 qui est un segment candidat pour être Minimax.
Construisons les cercles de centre K1 et de rayon K1L1 et de centre L1 et de rayon L1K1. Tout point de P1Q1 définit avec K1 et L1 un triangle dont le plus grand côté est bien K1L1. A priori il est « Max », mais pas « Min des Max ».
En effet si on déplace parallèlement à lui-même le segment K1L1 en K2L2, on diminue la longueur KL en la laissant supérieure aux deux autres côtés.
Cela reste vrai jusqu’au moment où le point M parvient à la droite BC.
On peut alors dire que ce segment KL est le MiniMax pour la direction initiale choisie K1L1
On en déduit également que le triangle KLM est équilatéral
Le raisonnement s’appliquait à l’angle droit A, mais il est tout aussi valable pour les 2 autres angles B et C.
A chaque fois on aboutit au même triangle équilatéral optimal.
Le problème revient alors à trouver le triangle équilatéral dont les sommets sont sur chacun des côtés du triangle ABC et qui a le plus petit côté possible.
Phase 2
Nous allons prendre comme variable principale la position de K sur le segment AC (AC = a avec 0 < a < √3/2)
Pour un point K choisi, il existe une position de L sur AB qui positionnera le troisième sommet du triangle équilatéral sur BC.
Donc K étant fixe, L variable sur le segment AB, cherchons le lieu de M.
Ce lieu est la droite D2 fixe qui est l’image de l’axe des ordonnées par une rotation de 60° (sens horaire sur le schéma).
Le point M recherché est donc l’intersection de la droite D1 (BC) et de la droite D2 D1 a pour équation :
y = -1/√3 x + 1/2 [1]
D2 a pour équation :
y = 1/√3 x + a/√3 [2]
M est sur leur intersection et a donc pour coordonnées :
Xm = (√3-2a)/4 et Ym = (√3+2a)/4√3
Cela permet de calculer la longueur de KM, l’un des côtés du triangle équilatéral.
KM² = (28a² - 8a√3 + 3) /12 [3]
Nous cherchons le triangle équilatéral de plus petit côté.
La longueur des côtés de ce triangle équilatéral est minimum pour :
a = √3/7 = 0,24744 donc AK = 2/7 AC
La longueur du côté de ce triangle est le MiniMax recherché : MiniMax = √3/(2√7) = 0,3273
Donnons également les coordonnées des 3 sommets :
Xk = √3/7 Yk = 0
Xl = 0 Yl = 3/14
Xm = 5√3/28 Ym = 9/28
Remarque
M étant quasiment sur la bissectrice de l’angle A, il est opportun de vérifier si ce ne serait pas une meilleure solution.
Pour les mêmes raisons qu’en phase 1, le triangle est équilatéral.
Les coordonnées de M sont : Xm = Ym = (3-√3)/4 D’où :
MK² = a² - (3-√3)a/2 + (6-3√3)/4
On calcule a en exprimant que LK=a√2 et est égal à MK
Ainsi :
a =
{
3 √𝟐(𝟐 −√𝟑) – 3 + √3} /4 = 0,23205 D’où
MK = 0,3282
Qui est effectivement légèrement supérieur à la valeur trouvée précédemment.
Construction géométrique
La solution que nous venons d’écarter aurait été plus simple.
Toutefois il est possible de faire une construction qui sera malgré tout laborieuse.
Compte tenu des propriétés évoquées au cours de la démonstration, cela ne pose pas de problème si ce n’est prendre AK = 2/7 de AC. Une solution est de prendre une droite passant par A, de prendre un point X tel que AX = AC puis découper successivement les segments en 2 pour faire apparaitre 8 segments. Tracer une droite du point 7 à C, puis une parallèle partant du pont 2 qui coupera alors AC au 2/7ème.
Ensuite ce sont des constructions classiques avec un point H sommet d’un triangle AHK équilatéral, puis une perpendiculaire en H à KH qui coupe BC en M un des sommets recherchés. Le cercle de centre K et de rayon KM donne L sur l’axe des ordonnées.
Généralisation (est-ce possible avec un triangle quelconque ?) La phase 1 ne suppose pas un angle droit.
Donc on cherche toujours un triangle équilatéral.
Ensuite le lieu de M est toujours une droite D2 qui coupe D1 (BC) en M optimal pour une position de K.
D’où la dimension KM du côté du triangle dont on cherche le minimum.
Les calculs seront plus complexes dans la mesure où les angles sont quelconques, mais le processus doit convenir.
Remarque finale
Il semble que le centre des cercles inscrits des 2 triangles soit commun.
Mais cela reste à vérifier et à démontrer.
