à la main] Sur chaque côté d’un triangle ABC, on a marqué les pieds de la hauteur et de la bissectrice issues de chacun des sommets

D623 – Pedem tollere [**** à la main]

Sur chaque côté d’un triangle ABC, on a marqué les pieds de la hauteur et de la bissectrice issues de chacun des sommets. Les six points sont distincts.

Q₁ A l’aide d’une règle seule, sans limite sur le nombre de lignes droites à tracer, comment identifiez vous les pieds des hauteurs et les pieds des bissectrices ?

Q₂ Même question que précédemment en traçant trois lignes seulement.

Nota : on suppose que sur chaque côté les points qui marquent les deux pieds sont

suffisamment proches pour que vous soyez capable de repérer visuellement la hauteur et la bissectrice.

Solution proposée par Bernard Vignes

Comme les six pieds sont distincts, le triangle ABC n’est pas isocèle et les trois côtés sont de dimensions distinctes. Sur chaque côté du triangle, le pied de la hauteur est situé entre le pied de la bissectrice et le plus petit des deux autres côtés. Dès lors, les deux questions sont résolues si on sait classer les côtés selon leurs dimensions du plus petit au plus grand.

On désigne H ,_A H ,_B H_C les pieds des hauteurs et L ,_A L ,_B L les pieds des bissectrices issues _C respectivement des sommets A,B et C sur les côtés BC,CA et AB.

On pose a = BC, b = CA et c = AB avec a ≠ b ≠ c.

Lemme : si b > a, les droites L_AL_Bet H_AH_Brencontrent la demi-droite AB au delà du point B

Démonstration

Soient L_AD et L_BE perpendiculaires au côté AB. D’après le théorème de la bissectrice dans le triangle ABC, on L_AD/CH_C = c/(b+c) et L_BE/CH_C= c/(a + c). Comme b > a, il en résulte que L_AD < L_BE, si bien que la droite L_AL_B (en rouge) coupe la droite AB au delà de B.

D’autre part, les points H et _A H sont situés sur le demi-cercle de diamètre AB. Comme _B l’angle (H AB) est inférieur à l’angle(_A H BA), la distance de _B H au côté AB est inférieure à _A la distance de H à ce même côté. Il en découle que la droite _B H_AH_B(en bleu) coupe la droite AB au delà de B. Voir l’illustration ci-après :

Solution de Q₁

On joint les six pieds aux trois sommets opposés du triangle. On obtient deux familles de trois droites concourantes en deux points dont à ce stade on ne sait pas discerner la nature exacte, l’un est l’orthocentre et l’autre est le centre du cercle inscrit.

On choisit deux pieds de la même famille qui se trouvent sur deux côtés et on trace la droite qui passe par ces deux points. Selon le lemme, que ces deux points soient des pieds de hauteurs ou des pieds de bissectrices,dans les deux cas elle rencontre la droite portée par le troisième côté au delà du point qui appartient au plus petit des deux côtés. De cette façon, on détermine le plus petit des deux côtés.

On opère de la même manière avec les deux autres couples de pieds de la même famille, ce qui permet d’ordonner les dimensions a,b et c des côtés puis de repérer les pieds des hauteurs et des bissectrices.

Solution de Q₂

On considère pour chacun des sommets du triangle les pieds les plus proches sur deux côtés adjacents et on trace les trois droites passant par ces points. Nous allons démontrer que ces droites rencontrent l’extension du plus grand côté au delà du sommet de l’angle médian

(i.e.l’angle compris entre le plus petit angle et le plus grand angle dans le triangle) et les extensions des deux autres côtés au delà du sommet du plus grand angle. De cette manière, on sait déterminer le plus grand côté et le plus petit côté.

Supposons sans perte de généralité que c > b > a. Les points qui sont les plus proches du sommet du plus petit angle (en A) sont les pieds L et _B L des bissectrices issues de B et de C _C et les points qui sont les plus proches du sommet du plus grand angle (en C) sont les pieds

H et A H des hauteurs issues de A et de B. Selon le lemme, les deux droites en pointillés verts _B

C BL

L et H_AH_Bqui joignent ces points rencontrent respectivement l’extension de BC au delà du point C et l’extension de AB au delà de B.

Les points les plus proches de B sont H_Cet L .Toujours selon le lemme, la ligne _A L_CL_A rencontre l’extension du côté AC au delà de C en un point P. La droite H_CL_Aen pointillés verts passe à l’intérieur du triangle H_CCP et coupe donc le segment CP en un point Q.