D649. Une longueur minimax
SoitP QRle triangle inscrit dansABC. SiP Qest le plus grand cˆot´e, il existe un triangle isoc`ele de baseP R ouQR dont le plus grand cˆot´e est plus petit queP Q, doncP QRdoit ˆetre ´equilat´eral, et aussi petit que possible.
La recherche du triangleP QRpourABCdonn´e est ´equivalente `a celle du plus grand ABCpossible pourP QRdonn´e.
Aest situ´e sur l’arc de cercle d’o`uQRest vu sous l’angle BAC.\ B est situ´e sur l’arc de cercle d’o`uP Rest vu sous l’angle CAB.\
La distanceAB= 2r1sin(AKR)+2\ r2sin(RKB)\ passe par un extr´emum lorsque la d´eriv´ee de cette expression est nulle :
r1cos(AKR)\ −r2cos(RKB) = 0\
⇒ AB est perpendiculaire `a l’axe radicalKR.
KAQ\ =KRQ\ P BK\ = P RK\ ⇒ KAQ\ +P BK\ = π 3
AKB\ =BAC\ +CAB\ − π 3
Revenant `a la construction demand´ee, le pointKest `a l’intersection du cercle de diam`etreAB (AKB\ = π
2) et du cercle passant parA,C et le milieumA
deBC (CKA\ = 2π
3 ), et P QRest le triangle podaire deK.
P Q= 0.32733BC
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