En d´eduire la valeur de l’angle enA

Enonc´e n^oD189 (Diophante) Les bissectrices prennent leur pied

Dans ce triangle ABC o`u Q et R sont les pieds des bissectrices issues deB et deC sur les cˆot´es oppos´es, il existe un pointP surBC tel que P QRest un triangle ´equilat´eral. En d´eduire la valeur de l’angle enA.

Sur l’arc BC du cercle circonscrit `a ABC, on trace un point D quel- conque de l’autre cˆot´e deA par rapport `aBC. Dans le triangle BCD, les points S, T et U sont les pieds des bissectrices du triangle BCD issues de B, C et D sur les cˆot´es oppos´es. D´emontrer que le triangle ST U est rectangle.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

1) Je note classiquement BC =a, CA = b, AB = c, et les angles du triangle parA, B, C.

La rotation de centre Q et d’angleπ/3 transformeR en P sur BC, et transformeA en A⁰.

On a QA⁰ =QA,A⁰P =AR,

(QA⁰, CB) =C−π/3, (BC, P A⁰) =B+π/3.

La projection de la polygonale CQA⁰P sur une perpendiculaire `a BC donne

0 =CQsinC+QAsin(C−π/3)−RAsin(B+π/3).

Le rapport des aires des triangles AQB et CQB est BA/BC = QA/QC, d’o`u CQ/BC = QA/AB = AC/(AB+BC) = b/(a+c), CQ=ab/(a+c), QA=bc/(a+c),

et de mˆeme RA=bc/(a+b).

La condition de l’´enonc´e s’´ecrit donc

(∗) 0 = (a+b)(asinC+csin(C−π/3))−(a+c)csin(B+π/3).

Pour simplifier cette condition, on dispose de la loi des sinus a/sinA=b/sinB =c/sinC, et de la relation

0 =asin(π/3)−bsin(π/3−C)−csin(π/3 +B)

qui exprime la projection de la polygonale ferm´eeBCABsur un axe ∆ faisant l’angle (BC,∆) =π/6 avec BC.

Cela permet, par transformations trigonom´etriques de sommes en pro- duits, de mettre le second membre de (∗) sous la forme

4acsin

A

2 −π 6

sin

B

2 +π 6

sin

C

2 +π 6

. La condition de l’´enonc´e entraˆıne doncA=π/3.

2) Le quadrilat`ereABDC ´etant inscriptible, l’angleD= 2π/3.

Je noteraiCD =e,DB=f.

Je vais montrer que le produit scalaire (U S·U T) est nul, ce qui prouve que le triangleST U est rectangle enU.

Vectoriellement, on a (avec le mˆeme raisonnement qu’au paragraphe 1 pour les rapportsCS/CD,BT /BD,CU/CB,BU/BC)

U S=CS−CU =CD a/(a+f)−CB e/(e+f).

(a+f)(e+f)U S=a(e+f)CD−e(a+f)(CD+DB) =

=f(a−e)CD+e(a+f)BD.

De mˆeme U T =BT−BU =BD a/(a+e)−BC f /(e+f), (a+e)(e+f)U T =a(e+f)BD−f(a+e)(BD+DC) =

=f(a+e)CD+e(a−f)BD.

Le produit scalaire de ces vecteurs est (U S·U T)(a+e)(a+f)(e+f)²=

=f²(a²−e²)CD²+ef(2a²+ 2ef)(CD·BD) +e²(a²−f²)BD². CD² =e²,BD² =f². De plus, compte tenu de la valeur de l’angleD (de cosinus−1/2), on a (CD·BD=−ef /2, d’o`u

(U S·U T)(a+e)(a+f)(e+f)² =e²f²(a²−e²−ef−f²) = 0 cara²=e²+ef+f² (relation d’Al-Kashi dans le triangleBCD).

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