De même O devrait être sur les deux autres bissectrices du triangle ABC

D186 – Géométrie franco-française

Soit un triangle ABC acutangle. Le cercle de centre A et de rayon BC coupe respectivement la droite AB en un point P et la droite AC en un point Q tels que P et B, de même Q et C, sont de part et d’autre de A. De la même manière les cercles de centres B et C et de rayons respectifs CA et AB donnent les points R,S,T et U sur les droites portant les côtés BC,BA,CA et CB.

Démontrer que l’hexagone PQRSTU est inscrit dans un cercle. Soit O le centre de ce cercle.Un deuxième cercle de même centre O coupe les trois côtés du triangle ABC en six points distincts qui délimitent un deuxième hexagone. Démontrer que trois côtés de cet hexagone sont égaux entre eux.

Solution proposée par Pierre Renfer

Soient a, b, c les longeurs des côtés BC, CA, AB et

2 c b p a 

 le demi-périmètre.

Le centre O d'un cercle  qui passerait par PQRSTU devrait être en particulier sur la médiatrice de [QP], qui est la bissectrice du triangle ABC, issue de A.

De même O devrait être sur les deux autres bissectrices du triangle ABC.

Donc O serait le centre du cercle inscrit du triangle ABC.

Soit H le projeté du centre O du cercle inscrit sur la droite (AB).

On sait que : HApa et HBpb

Donc : HPHAAP p et HSHBBSp Le point O est donc sur la médiatrice de [PS].

De même il est sur les médiatrices de [QT] et [RU].

On déduit que le point O est bien à égale distance des six points P,Q,R,S,T,U.

Un autre cercle de centre O découpe sur les trois droites (AB), (BC), (CA) trois cordes de même longueurs, puisque ces trois droites sont à églae distance de O.