D186. Géométrie franco-française
Soit un triangle ABC acutangle. Le cercle de centreA et de rayonBC coupe respectivement la droiteABen un pointP et la droiteAC en un pointQtels quePetB, de mêmeQetC, sont de part et d’autre deA. De la même manière les cercles de centresBetC et de rayons respectifsC AetAB donnent les pointsR,S,T etUsur les droites portant les côtésBC,B A,C AetC B.
Démontrer que l’hexagonePQRST U est inscrit dans un cercle. Soit O le centre de ce cercle. Un deuxième cercle de même centre O coupe les trois côtés du triangleABCen six points distincts qui délimitent un deuxième hexagone. Démontrer que trois côtés de cet hexagone sont égaux entre eux.
Solution de Claude Felloneau
b
A
bB bC
b P
b
Q
bS
b
R
b
T
bU
bO
– Ł’hexagonePQRST Uest inscrit dans un cercle.
En effet, soitOle centre du cercle inscrit au triangleABC.
La droite (BO) est la bissectrice de l’angleABC=U B P. Le triangleB PUétant isocèle en B (car BU=BC+CU,B P=B A+AP,CU=B AetAP=BC), la droite (BO) est aussi la médiatrice du segment [PU]. On a doncOP=OU.
De même, (BO) est la bissectrice de l’angleRB S et le triangleRSBest isocèle enBdonc (BO) est la médiatrice du segment [RS]. On a doncOR=OS.
De la même façon,
- la droite (OC) est la médiatrice des segments [QR] et [T U], doncOR=OQetOT=OU. - la droite (O A) est la médiatrice des segments [PQ] et [ST], doncOP=OQetOS=OT. Finalement :OP=OQ=OR=OS=OT=OU. L’hexagonePQRST Uest inscrit dans un cercle de centre O.
– SoitRle rayon du deuxième cercle. CommeOest à égale distancerde chaque côté du triangle, le deuxième cercle coupe chaque côté en deux points distants de 2p
R2−r2. Trois des côtés de l’hexagone ainsi délimité ont donc même longueur.
