D186. Géométrie franco-française
Soit un triangle ABC acutangle. Le cercle de centre A et de rayon BC coupe respectivement la droite AB en un point P et la droite AC en un point Q tels que P et B, de même Q et C, sont de part et d’autre de A. De la même manière les cercles de centres B et C et de rayons respectifs CA et AB donnent les points R,S,T et U sur les droites portant les côtés BC,BA,CA et CB.
Démontrer que l’hexagone PQRSTU est inscrit dans un cercle. Soit O le centre de ce cercle.Un deuxième cercle de même centre O coupe les trois côtés du triangle ABC en six points distincts qui délimitent un deuxième hexagone. Démontrer que trois côtés de cet hexagone sont égaux entre eux.
Solution proposée par Pierre Gineste
1/ PQRSTU inscrit dans un cercle C(O, R6) de centre O, de rayon R6 Soit I (resp. J, K) le milieu du segment RU (resp. QT, PS).
BI=RI-BI=(a+b+c)/2-b=(a-b+c)/2=R2et CI=UI-CI=(a+b+c)/2-c=(a+b-c)/2=R3 De même, CJ=R3 et AJ=R1, AK=A1 et BK=R2
R1, R2 et R3 sont les rayons des cercles de centres A, B, et C, tangents 2 à 2.
Le cercle inscrit à ABC est tangent à BC, CA, AB en I, J, K. Son rayon R=(T/S)0,5
, avec T=R1*R2*R3 S=R1+R2+R3 (formule de Héron)
==> OP=OQ=OR=OS=OT=OU=R'=R2 +S2
=[(T+S3 )/S]0,5
2/ 3 côtés égaux dans l'hexagone.
L'hexagone tel que défini a ses côtés parallèle aux côtés de PQRSTU. Raisonnons sur ce dernier.
Le triangle APQ est isocèle et l'angle A vaut a. L'angle ang(APQ)=(p-a)/2. Le triangle BPU est isocèle et l'angle B vaut b. L'angle ang(BPU)=(p-b)/2. Donc ang(UPQ)=(p+g)/2.
On démontre de même: ang(PQR)=(p+b)/2. ang(QRS)=(p+a)/2. ang(RST)=(p+g)/2.
ang(STU)=(p+b)/2. ang(TUP)=(p+a)/2.
Tous ces points étant dans le même cercle, des angles inscrits égaux soutendent des cordes égales.
Donc:
QS=TP PR=SU UQ=RT. CQFD.
