D186 : Géométrie franco-française
Soit un triangle ABC acutangle. Le cercle de centre A et de rayon BC coupe respectivement la droite AB en un point P et la droite AC en un point Q tels que P et B, de même Q et C, sont de part et d’autre de A. De la même manière les cercles de centres B et C et de rayons respectifs CA et AB donnent les points R,S,T et U sur les droites portant les côtés BC,BA,CA et CB.
Démontrer que l’hexagone PQRSTU est inscrit dans un cercle. Soit O le centre de ce cercle.Un deuxième cercle de même centre O coupe les trois côtés du triangle ABC en six points distincts qui délimitent un deuxième hexagone. Démontrer que trois côtés de cet hexagone sont égaux entre eux.
Soit I le centre du cercle inscrit, et H, J, K ses projections respectives sur BC, CA, AB : on a AB+HC=AC+BH, égaux au demi-périmètre du triangle ABC, et comme RB=AC, et CU=AB, RU a pour longueur le périmètre de ABC, H est le milieu de RU, et la médiatrice de RU passe par I. Il en est de même pour PS et QT, et comme IH=IJ=IK, les triangles IRU, IPS, ITQ sont égaux : l’hexagone PQRSTU est donc inscrit dans un cercle de centre O=I.
Tout cercle de centre I, de rayon supérieur à celui du cercle inscrit, coupera les cotés de triangle ABC en des paires de points symétriques par rapport aux points H, J, K, formant avec le point I des triangles égaux ( puisque la hauteur reste constante): ces paires de points sont donc les extrémités de trois cotés égaux de l’hexagone.
