D186. Géométrie franco-française
Soit un triangle ABC acutangle. Le cercle de centre A et de rayon BC coupe respectivement la droite AB en un point P et la droite AC en un point Q tels que P et B, de même Q et C, sont de part et d’autre de A.
De la même manière les cercles de centres B et C et de rayons respectifs CA et AB donnent les points R,S,T et U sur les droites portant les côtés BC,BA,CA et CB.
Démontrer que l’hexagone PQRSTU est inscrit dans un cercle. Soit O le centre de ce cercle.
Un deuxième cercle de même centre O coupe les trois côtés du triangle ABC en six points distincts qui délimitent un deuxième hexagone. Démontrer que trois côtés de cet hexagone sont égaux entre eux.
Solution proposée par Paul Voyer:
Les médiatrices de PQ, RS et TU sont aussi les médiatrices de UP, QR et ST, et les bissectrices des angles A, B, C du triangle. Il suffit de regarder le dessin.
Elles concourent en O, centre du triangle inscrit au triangle ABC.
La distance de O à P, Q, R, S, T et U est la même, les 6 points sont tous sur un même cercle de centre O.
La seconde question devient : montrer que tout cercle de centre O, centre du cercle inscrit, découpe des segments égaux sur AB, BC et CA.
C'est évident, les trois triangles isocèles grisés ont leurs paires de côtés égales et leur hauteur est aussi la même.
