D1960 Une Riche Configuration.
Problème proposé par Dominique Roux
On donne 3 points A , B , C sur un cercle (O). Les tangentes à ce cercle en A , B , C forment un triangle A'B'C'. On sait que les droites AA' , BB' , CC' ont un point commun K.
Le cercle (KBC) recoupe les côtés AB et AC en respectivement Ba et Ca et recoupe les tangentes en B et C en respectivement A'b et A'c.
De même le cercle (KCA) recoupe BC et BA en Cb et Ab et recoupe les tangentes en C et A en B'c et B'a.
Enfin le cercle (KAB) recoupe CA et CB en Ac et Bc et recoupe les tangentes en A et B en C'a et C'b.
1) Montrer que les 6 points Ab,Ac,Bc,Ba,Ca,Cb sont cocycliques et que BaCa = CbAb = AcBc 2) Montrer que les 6 points A'b,A'c,B'c,B'a,C'a,C'b sont cocycliques et que B'aC'a = C'bA'b = A'cB'c.
Q1) Le point K est, pour le triangle (ABC), le point symédian, ses coordonnées barycentriques sont : K (a², b², c²)
Equation barycentrique du cercle (ABC) : YZ.a² + ZX.b² + XY.c² = 0 D'un cercle passant par A et B : YZ.a² + ZX.b² + XY.c² + mZ.(X+Y+Z)= 0 Calcul de m pour que ce cercle passe par K(a²,b²,c²) : 3a²b²c² + mc²(a²+b²+c²) = 0 m = – 3a²b²/(a²+b²+c²)
Equation du cercle (AKB) : YZ.a² + ZX.b² + XY.c² – [3a²b²/(a²+b²+c²)].Z.(X+Y+Z) = 0 Coordonnées du point Bc : X=0, Y – [3b²/(a²+b²+c²)].(Y+Z) = 0
X=0, Y= 3b², Z= a² – 2b² + c²
Coordonnées du point Ac : Y=0, X – [3a²/(a²+b²+c²)].(X+Z) = 0 X= 3a², Y=0, Z= – 2a² + b² + c²
Récapitulation des coordonnées des 6 points :
Ab Ac Ba Bc Ca Cb
X 3a² 3a² a²-2b²+c² 0 a²+b²-2c² 0
Y -2a²+b²+c² 0 3b² 3b² 0 a²+b²-2c²
Z 0 -2a²+b²+c² 0 a²-2b²+c² 3c² 3c²
On voit que Ab A/ Ab B = Ac A/ Ac C donc Ab Ac est parallèle à BC , et de même, Bc Ba parallèle à CA , et Ca Cb parallèle à AB.
D'autre part, BC et Ba Ca sont antiparallèles par rapport à AB et AC, il en est de même pour BC et B'C', donc on a : Ba Ca//B'C' et on a de même : Cb Ab//C'A' et Ac Bc//A'B'.
Les bissectrices de l'angle des droites Bc Ac et Ab Cb ont mêmes directions que celles de BÂ'C c'est à dire parallèle et perpendiculaire à BC.
Les segments de droite Ac Bc et Cb Ab compris entre les droites parallèles BC et AbAc , sont parallèles à CA' et BA', les angles (non orientés) qu'ils font avec BC sont égaux donc AcBc = CbAb De même pour Ba Ca = Cb Ab = Ac Bc.
Les trois quadrilatères (Bc Ab Ac Cb), (Ca Ba Bc Ac), (Ab Ca Cb Ba) sont des trapèzes isocèles.
Le centre de gravité des points Bc(0, 3b², a²-2b²+c²), Ac(3a², 0, a²-2b²+c²), C(0, 0, a²+b²+c²) a pour coordonnées (a², b²,c²) c'est donc le point K. L'image du point C par l'homothétie de centre K et de rapport -1/2 appartient à la droite Bc Ac. Les droites A'CB' et Bc Ac sont parallèles donc l'image de la droite A'C' est la droite Bc Ac. Le triangle A'B'C' et son cercle inscrit de centre O ont pour image le triangle dont les côtés sont portés par les droites Bc Ac, Ca Ba, Ab Cb et le cercle de centre L inscrit dans ce triangle. Le point L est défini par vecteur KL = – ½ vecteur KO. Il est équidistant des diagonales Bc Ac et Ab Cb du trapèze isocèle Bc Ab Ac Cb. Il est sur l'axe de symétrie de ce trapèze, ainsi que sur l'axe de symétrie des deux autres trapèzes isocèles que sont Ca Ba Bc Ac et Ab Ca Cb Ba.
Les égalités L Ab = L Ac, L Bc = L Cb, L Ba = L Bc, L Ca = L Ac, L Ca = L Cb, L Ab = L Ba se ré-arrangent en L Ab = L Ac = L Ca = L Cb = L Bc = L Ba .
Donc les 6 points Ab,Ac,Bc,Ba,Ca,Cb sont cocycliques sur un cercle de centre L.
Q2) On reprend l'équation du cercle (AKB) et l'équation de la tangente en A à (O) : YZ.a² + ZX.b² + XY.c² – [3a²b²/(a²+b²+c²)].Z.(X+Y+Z) = 0 (1)
c²Y + b²Z = 0 (2)
Y – [3b²/(a²+b²+c²)].(X+Y+Z) = 0 (3) = [(1) – (2).X] / (a²Z) (a²+b²+c²).Y – 3b²X – 3b²Y – 3b²Z = 0 (4) = (3).(a²+b²+c²) (a²+b²+c²).Y – 3b²X – 3b²Y + 3c²Y = 0
(a² –2b²+4c²).Y – 3b²X = 0
Coordonnées du point C'a : (a² –2b²+4c² , 3b², – 3c²).
Calculs analogues avec le cercle (AKB) et la tangente en B à (O) : c²X + a²Z = 0 X – [3a²/(a²+b²+c²)].(X+Y+Z) = 0 .
Coordonnées du point C'b : (3a², – 2a²+b²+4c², – 3c²) Récapitulation des coordonnées des 6 derniers points :
C'a C'b A'b A'c B'c B'a
X a² –2b²+4c² +3a² – 3a² – 3a² +3a² a²+4b²-2c²
Y +3b² –2a²+b²+4c² 4a²+b²-2c² +3b² – 3b² – 3b²
Z – 3c² – 3c² +3c² 4a²-2b²+c² -2a²+4b²+c² +3c²
La droite Ab Ac a pour équation (2a²-b²-c²).X + 3a².(Y+Z) = 0. Les points C'b et B'c ont des
coordonnées qui vérifient cette équation. Donc la droite C'b B'c se confond avec la droite Ab Ac, et elle est parallèle à BC.
La droite OA' est axe de symétrie pour les cercles (BAC), (BKC), et pour le couple de droites A'B et A'C donc aussi pour le couple de points A'c, A'b.
Les segments de droite C'b A'b et B'c A'c ont des bissectrices de directions OA' et BC, leurs
extrémités se situent sur deux droites parallèles à BC, ils sont donc égaux, et (C'b A'c A'b B'c) est un trapèze isocèle. De même (C'a B'a B'c A'c) et (A'b C'a C'b B'a) sont des trapèzes isocèles.
B'a C'a = C'b A'b = A'c B'c . Le point O appartient aux axes de symétrie des trois trapèzes. On a O C'b = O B'c, O A'c = O A'b ; O C'a = O A'c, O B'a = O B'c ; O A'b = O B'a, et O C'a = O C'b soit successivement O C'b = O B'c = O B'a = O A'b = O A'c = O C'a
Les 6 points Ab, Ac, Bc, Ba, Ca, Cb sont cocycliques sur un cercle de centre O.
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