ab c a bc

CALCUL DANS ℝ . ORDRE DANS ℝ

EXERCICE 1

1°) Effectuez les calcules suivants:

(1) : (a + b) (x – y) – (a – b) (x + y) – b (x – y) (2) : x (a – by) – y (b – ax) – xy (x – y)

(3) : 4[ 1

10 (5(2a + 3) +5)

(4) : 3 [5 (x – a) – 2 (b – y)] – 6 (a – b) + 15 (x + y)

(5) : x y [z y (t x)] [y + t (x + z)] [x (y z + t)]

2°) Développer à l’aide des égalités remarquables : (6) : (a b + c) (7) :

2 b 2

3 + 4

a (8) :

3

2 - b a

3°) Calculer (9) : 1 4

9 3 1 1 2 1

5 1 5

10 20 2 3 3 7

4°) Factoriser les expressions suivantes :

(10) a xy + aby + b xy + abx (11) 3a + 3b - 12 c - 6ab (12) y - x + 2x -1 (13) a b - 1 + a - b (14) (ab – 1) - (a – b) (15) (2a - 3a -5) - (2a + 3a + 4)

4 3 3 4

3

(16) 8 + 36a b + 54a b + 27ab (17) a + 8 - 2a + 4a

a b

(18) (a + b) - (c + d) + (a + c) - (b + d) (19) ab (a + b) + bc (b + c)+ ca (c + a) + 2abc

EXERCICE 2

Démontrer que (a, b, c, x, y réel )

(1) (ax + by) + (ay – bx) = (a + b ) (x + y ) (2) (ax + by) - (ay + bx) = (a - b ) (x - y )

(3) (a + b + c)³ – 3 (a + b) (b + c) (c + a) = a³ + b³ + c³ (4) (a- b) ³ + (b - c)³ + (c - a)³ = a³ + b³ + c³

(5) (a + b ) (a’ + b’ ) = (aa’ + bb’) + (ab’- ba’)

(6) (a + b + c) + (b - c) + (c - a) + (a – b) = 3 (a + b + c ) EXERCICE 3

m n p

-3 2 4 -2 -3 4

1 3 2 -5 3

1) Ecrire sous la forme 2 3 5 (avec m,n et p entiers relatifs ) les réels suivants:

(0,009) (0,016) 250 (-6) 30 (-10) 15

X= ;Y=

(0,00075) 810 30 (-25) (36) (-12)

2) Ecrire sous la forme ^{m n p}

2 -3 3 -2 5 3 -2 -4 2 5 3 -1 -2

2 2 4 1 6 2 2 -3 3 4 -5 2

1

2 2 3 4 2

a b c (avec m,n ,p entiers relatifs) (a b) (bc ) (a b ) (a c) (-b c) (a bc )

Q= ; R=-

( ) ( ) (-a b c) (-b ) (a c)

1 1

3 ) Calculer AB ; A B et A B où A=- 3 et B= -

5 3

b c a a b

4

5

EXERCICE 4

Simplifier les expressions suivantes :

7 3 2 4 1 3 2 3 3 5

3 4 2 2 2 2 4 4

6 3 3

2 2 2

6

2 3 2 3

4 2 2

( ) ( ) 91 ( 39) 25 (28 12 ) 105 5

; ; : ;

( ) 26 45 ( 21) 7 7 ( 60) 63 3

2 3 5

3 5 2

4 ; 9

( )

( ) ( )

a b c

A B C

b c a

D E

a b c a c

ab c a bc

EXERCICE 5

m et n étant deux entiers positifs ou nuls, donner les différentes valeurs possibles de l’expression : f (m , n) =

5 1 7 1 1 8 1

2 1

m n m n

m n

EXERCICE 6

Factoriser les expressions suivantes :

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

4 4 2 2 3 3 2 2 3 3 3

1) 4a +b -9 16 3) 5 4 2 5) 9 4

2) ax+by 4) 6) 9 12 4 3 2 1

3) a - b +2ab a - b 8) x+y

a b a b ab a b a b

ay bx ax by ay bx x x x x

a b ab a b x y

9) a⁵ + b⁵ ab⁴ a⁴b 10) 25a⁴ (9b 4a ) 12) (a + ab + b ) (a ) EXERCICE 7

Factoriser les expressions suivantes :

A = x y xy + yz xz + x z xyz + y z xyz (on trouvera trois facteurs) B = (xy²z³)⁴ × (x²y³z⁴) × (x³y⁵z)² × (x⁴yz²)³

(on exprimera B sous forme de puissance d’un seul réel) C = 25[4x³(y²z)²]² 2[10x⁴(yz)³]² [10(xyz)²]³

EXERCICE 8

2

2 2 2

2 2 2 2

1) Déveloper a + b + c .

2) Monter que si a + b + c = 0 alors a + b + c = -2 (ab + bc + ca).

1 1 1

3) On suppose a, b et c non nuls .Montrer que + + = 0 a + b + c a + b + c .

a b c

EXERCICE 9

Soit a, b, c trois réels :

1) Développer (a + b +c) (ab + bc + ca) puis (a + b + c) ³ 2) Démontrer que si : a + b +c = 0alors a³ + b³ + c³ = 3abc 3) En déduire que, pour tous réel x, y, z on a :

(x – y) ³ – (y – z) ³ + (z – x) ³ = 3 (x – y) (y – z) (z – x) EXERCICE 10

Soit a, b, c trois réels non nul tels que ab + bc + ca = 0 Calculer la somme S = + ^{c + a} + ^{a + b}

b c

b c a EXERCICE 11

Soient 4 entiers naturels consécutifs n, n + 1, n + 2, n + 3, (n > 0) 1°) a) Démontrer que (n + 1) (n + 2) = n (n + 3) + 2

b) On pose (n + 1) (n + 2) = a. Exprimer en fonction de a le produit p = n (n + 1) (n + 2) (n + 3) c) En déduire que p + 1 est le carré d’un entier (on dit carré parfait)

2°) Déterminer n sachant que p = 5040.

EXERCICE 12

1 1

a) Calculer , pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : A = 1 1 . 1

1 1 1

b) Calculer B = 1- 1- 1 -

2 3 4

1 1 1

) Calculer en fonction de n : Xn = 1- 1- 1

2 3 4

n n

c 1

... 1- n EXERCICE 13

Simplifier les expressions suivantes (on suppose que tous les dénominateurs sont non nuls).

A= 1 ₂ 1₂ 1₂ 2 ₃ 1 1

a b . a b

a b a b

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 .

x y a x y b x y a x y b

B xy xy

2 2

2 2

1 1 1 1

1 1 ;

1 1 1 1

1 1

x y x y

xy xy a b c b a c

C D

x y

a b c b a c x y

H =

1 1

1 1 :

a b c a b c

a b c a b c

I = x yz + xy xz

x + yz xy xz J = x + t x t +

x t x + t 1

(x + t) + 1 (x t)

K =

1 1

1 1

a b a b a b a b

L =

1 b + c a 2bc 1 + a + b c

2ab

M = 1 1 1 1:

a b a b

a b a b

N = 1 _{3 3}

1 1 a b

a b b a

a b a b

EXERCICE 14

On donne les expressions : A = x

t + z ; B = t

z + x ; C = z x + t . Calculer les expressions : X = x

A(1 BC) ; Y = t

B(1 CA) ; X = z

C(1 AB) . EXERCICE 15

On donne les expressions : A = 1 1 a

1 b

; B = 1 1 a ⁺

1 b

; C = 2 a 1 a

1 b

Calculer la somme A + B + C.

EXERCICE 16

On donne les expressions : A = 1 1 + a

b + c

; B = 1 1 + b

c + a

; C = 1 1 + c

a + b

Calculer la somme A + B + C.

EXERCICE 17

Vérifier les identités suivantes : a) (x + y + z) 1

x + 1 y +

1

z = 1 +

(x + y) (y + z) (z + x)

xyz

b) x

(x t)(x z) +

t

(t z)(t x) +

z

(z x)(z t) = 1

EXERCICE 18

a) Vérifier l’ identité : a³ + b³ + c³ 3abc = (a + b + c) (a + b + c bc ca ab) b) En déduire une simplification de l’expression :

x yz 1 + y + z x

+ y zx 1 + z + x y

+ z xy 1 + x + y z

EXERCICE 19

a) Calculer A = (a + b + c )

b) Démontrer que : (a + b + c = 0) [(a + b + c ) = 4(ab + bc + ca)

EXERCICE 20

a, b et c étant trois réels non nuls, simplifier l’expression : A = a + b

ab (a + b c ) + b + c

bc (b + c a ) + c + a

ca (c + a b )

EXERCICE 21

Soit x, y et z trois réels tels que: xyz = 1.

Montrer que : x

xy + x + 1 + y

yz + y + 1 + z

zx + z + 1 = 1

EXERCICE 22

Démontrer que, a, b et c désignant trois nombres réels non nuls, on ne peut avoir : 1

a + 1 b +

1 c =

1

a + b + c que si deux de ces nombres sont opposés (c’est-à-dire qu’on a : a = b ou b = c ou c = a).

EXERCICE 23

Montrer que l’expression E = 4a 1

(a b)(a c) +

4b 1 (b c)(b a) +

4c 1

(c a)(c b) est égale à 4 .

EXERCICE 24

Soient a, b et c trois nombres réels non nuls, distincts deux à deux et tels que : a + b c = 0.

Démontrer que : a b c b c c a a b 9

b c c a a b a b c EXERCICE 25

On considère les quatre expressions :

X = a + b + c + d ; Y = a + b c d ; Z = a b + c d ; T = a b c d . 1°) Calculer XY, puis X + Y et montrer que :

XY(X + Y ) = 2 [(a + b)⁴ (c + d)⁴] . 2°) Par quelle transformation passe-t-on de X à Z et de Y à Z ? En déduire, sans nouveau calcul, que :

ZT(Z + T ) = 2 [(a b)⁴ (c d)⁴] . 3°) Démontrer que si on a : ab(a + b ) = cd(c + d ) , on a aussi :

XY(X + Y ) = ZT(Z + T ) EXERCICE 26

Soient a, b et c trois nombres réels deux à deux inégaux.

1°) Démontrer l’identité :

1 1 1

a b c

b c c a a b b c c a a b

a (b c) +

b (c a) +

c (a b) . 2°) Montrer que : ^{1 1 1}

b c c a a b est non nul quels que soient a, b et c distincts deux à deux. En déduire l’équivalence :

a b c

b c c a a b = 0 a (b c) +

b (c a) +

c

(a b) = 0 .

EXERCICE 27

1°) Démontrer que, a, b, c et d étant des réels tels que : bc (ac + bd) 0, on a : a

b = c

d si et seulement si : a + b ac + bd =

ac + bd c + d

2°) Soient a, b, c et d quatre nombres réels tels que : bd(3a + b) (3c + d) 0.

Montrer que l’égalité (1) a b =

c

d implique l’égalité (2) 2a b 3a + b =

2c d 3c + d . La réciproque est-elle vraie ?

EXERCICE 28 Calculer et simplifier :

2 2 2 1

1 3 (2 3); ;

2 3 6 2

2 1 1

1 5 6 1 5 6 ; 4 6 4 6 ; 1 6 1 6 4 6 4 6

2 3 2 3 ; 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 2 3 17 12 2 17 12 2

A B

C

X Y

Z T

EXERCICE 29

Rendre rationnel le dénominateur du nombre :

A = 6

2 3 + 5 EXERCICE 30

On considère le nombre A = ( 6 + 2 ) ( 3 2) ( 3 2) . Calculer A et en déduire la valeur de A.

EXERCICE 31

1°) Montrer que : 5 2 5 = 45 20 5

2°) Déterminer le nombre positif x tel que : x = (5 + 2 5 ) (85 38 5 ) EXERCICE 32

On considère les réels : A = 5 2 7

5 2 + 7 et B = 3 2 2 3 + 2 2 Simplifier A, B, puis 2A + 5B, 3A + 7B, A × B et A

B . EXERCICE 33

Mettre les nombres 11 2 30 ; 7 2 10 ; 8 4 3 sous la forme x , x et y étant des entiers naturels.

y

En déduire la valeur de ^{1 3 4} .

11 2 30 7 2 10 8 4 3 Y

EXERCICE 34

On donne les quatre expressions :

A = a + b , B = a + a b

2 + a a b 2 C = a b , D = a + a b

2 + a a b

2

1°) Vérifier que: A = B et C = D.

2°) On suppose que a et b sont des rationnels et que a b = c , où c est un rationnel positif.

Montrer que les expressions A et c peuvent alors s’écrire sous la forme A= x + y et C = x y

3°) Application numérique: Simplifier 7 + 4 3 + 7 4 3 EXERCICE 35

Montrer que si a, a’, b, b’, c et c’ sont positifs tels que : ' ' '

a b c

a b c alors aa' bb' cc' a b c a b c' ' ' . EXERCICE 36

Soit n un entier naturel, écrire sans radical au dénominateur 1 1 .

n n

En déduire une expression simple de 1 1 1 1

... .

1 2 1 3 2 100 99

EXERCICE 37

1°) Rendre rationnel le dénominateur de la fraction : 1

(n + 1) n + n n + 1 ,

puis la mettre sous la forme d’une différence de deux fractions ayant toutes deux le nombre 1 pour numérateur.

2°) Application : Calculer la somme :

S = 1

2 1 + 1 2 + 1

3 2 + 2 3 + …………+ 1

100 99 + 99 100 EXERCICE 38

Les lettres désignant des réels choisis de façon que les expressions écrites aient un sens,calculer et simplifier les expressions suivantes :

2 2 2

2 2

2 2

1 4 1 4 ; 1 1 ;

2 2 1 1

a a a a

X x x x x Y

a a a a

x y x y

C x y x y

EXERCICE 39

Calculer la valeur de l’expression : y = (x 1) 3

x x + 1 pour : a) x = 2 3 b) x = 2 + 3

EXERCICE 40

Soient a et b deux réels de même signe et non nuls. Calculer la valeur

de 1 ^{2 1} .

2

a b

x pour x

b a

EXERCICE 41

Calculer la valeur de l’expression y = a x +

x b + 2

a

b pour x = ab . (On distinguera deux cas : a > 0 et b > 0, puis a < 0 et b < 0) .

EXERCICE 42

Soient a et b deux réels strictement positifs .On désigne par : 1 a .

b et

2 2

2

2b 1 -

1) Soit f(x)= . Calculer f . 1 2

2b x -1

2) Soit g(x)= . Calculer g . x

x x