D 186 . Géométrie franco-française
Louis ROGLIANO
Soit un triangleABCacutangle. Le cercle de centreAet de rayonBCcoupe respectivement la droiteAB en un pointP et la droiteACen un pointQtels queP etB, de mêmeQetC, sont de part et d’autre de A. De la même manière les cercles de centresB etCet de rayons respectifsCAetABdonnent les pointsR, S, T etU sur les droites portant les côtésBC, BA, CAetCB. Démontrer que l’hexagoneP QRST Uest inscrit dans un cercle. SoitOle centre de ce cercle.Un deuxième cercle de même centreOcoupe les trois côtés du triangleABC en six points distincts qui délimitent un deuxième hexagone. Démontrer que trois côtés de cet hexagone sont égaux entre eux.
A)NotonsA,b BbetCbles angles du triangleABC;D, EetF les points où se coupent ”extérieurement”
les trois cercles (voir figure).
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L’égalité des quatre triangles ABC, AF B, AEC et BCD permet de montrer que les points Q, F, R sont alignés et que le quadrilatèreP QRSest inscriptible ((F A)//(AE)//(BC)).
1)Fb1 = π−Cb
2 ,Fb3 = π−Cb
2 ,Fb2 =Cb=⇒Fb1 +Fb2+Fb3 =π 2)Pb= π−Ab
2 ,Rb1 = π−Cb
2 ,Rb2 = π−Bb
2 =⇒Pb+Rb1+Rb2 =π
Il en résulte que le quadrilatèreP QRSest inscriptible. On montrerait de la même façon que les quadri- latèresQRST, RST U, ST U P etT U P Qsont inscriptibles. Il en résulte que l’hexagone P QRST U est in- scriptible.
Son centreOest le point d’intersection des médiatrices des segments[P Q],[RS]et[T U]. O est donc le centre du cercle inscrit au triangleABC.
B)Les triangles isocèlesOAbBa,OAcCaetOCbBcont des hauteurs égales et les côtés des angles au sommet égaux. Ils sont donc égaux etAbBa=AcCa=CbBc(voir figure)
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