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Les points A',B' et C' sont les points de contact des cercles exinscrits d'un triangle ABC avec les côtés BC,CA et AB. Démontrer que le centre du cercle circonscrit au triangle A'B'C' est sur le cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si le triangle ABC est rectangle.
Source: d'après un problème sélectionné pour les IMO de Santa Marta en Colombie.
Solution proposée par Bernard Vignes
Préambule: on rappelle quelques propriétés supposées connues et admises des cercles exinscrits d'un triangle ABC, qui seront utilisées dans la suite du texte.
Première proposition: le triangle ABC est rectangle, alors le centre O' du cercle circonscrit (Γ ') au triangle A'B'C' est sur le cercle (Γ) circonscrit au triangle ABC
Soit un triangle ABC dont les côtés ont pour dimensions BC = a, CA = b et AB = c.
Le demi-périmètre est s = (a + b + c)/2 Dans la figure ci-contre,on désigne par:
Ia,Ib et Ic les centres des cercles exinscrits associés aux sommets A,B et C.
A',B' et C' les points de contact de ces cercles avec les côtés BC,CA et AB, P,Q,R,S,T,U les points de contact de ces mêmes cercles avec les deux autres côtés du triangle ABC,
M le milieu de l'arc BC qui contient le sommet A.
A'' le point de contact du cercle inscrit du triangle ABC avec le côté BC.
On a les relations suivantes:
BC' = CB' = (‒ a + b + c)/2 = s ‒ a, BR = BS = BC + CR = BC + CB' = s CA' = AC' = (a ‒ b + c)/2 = s ‒ b, AP = AQ = AB + BP = AB + BA' = s AB' = BA' = (a + b ‒c)/2 = s ‒ c,CT = CU = CB + BU = CB + BC' = s BA' = CA''
Par ailleurs les points Ic,A,M et Ib sont alignés.
Démontrons que le point M milieu de l'arc BC du cercle (Γ) est confondu avec le point O' centre du cercle (Γ').
Les triangles IAC' et IAB' sont rectangles isocèles.
Comme les points Ic,A,M et Ib sont alignés,on a : IbIc = √2.(AC' + AB') = a√2 . D'où Ic M= a√2/2 et
MC'²= IcC'² + IcM²‒ √2 IcC'.IcM = (s ‒ b)²+ a² /2 ‒ a(s‒ b).
De la même manière on a MB'²= (s ‒ c)²+ a² /2 ‒ a(s‒ c).
On vérifie aisément en exprimant les deux membres avec les termes a,b,c que (s ‒ b)²‒ a(s‒ b)= s ‒ c)² ‒ a(s‒ c).
D'où MB' = MC'.
Par ailleurs O étant le milieu de BC, on MA'² = MO²+OA'², MA'² = a²/4 + (a/2 ‒ ( s‒ c))² = (s ‒ c)²+ a² /2 ‒ a(s‒ c) = MC'² M à égale distance des points A',B' et C' est le centre O' du cercle (Γ').Cqfd.
Deuxième proposition: le centre O' du cercle circonscrit (Γ ') au triangle A'B'C' est sur le cercle (Γ) circonscrit au triangle ABC, alors le triangle ABC est rectangle.
Supposons sans perte de généralité que O' sur (Γ ') est du même côté que A par rapport à BC.On démontre d'abord que les points M et O' sont confondus.
Comme O'B' = O'C', BC' = B'C (cf propriétés du
préambule) et ABO' = ACO', les triangles O'BC' et O'B'C sont isométriques. D''où O'B = O'C. O' est donc confondu avec M.
Par ailleurs, comme BA' = CA'' (cf propriétés du préambule), A'' est symétrique de A' par rapport à la médiatrice de BC. Le point A'' appartient au cercle (Γ ').
Les points A,M et Ib sont alignés, MA est bissectrice de l'angle B'AS et AB' = AS. Il en résulte que MB' = MS et le point S appartient également au cercle (Γ ').
D'où BA'.BA'' = BC'.BS qui s'écrit (s ‒ c).(s ‒ b) = (s ‒ a).s, ce qui donne:
(a ‒ b + c).(a + b ‒ c) = (‒a + b + c).(a + b + c) qui se réduit à a² = b² + c².
Le triangle ABC est rectangle en A. Cqfd
![Avec un puzzle Sur la figure, ABC est un triangle rectangle en A et les trois carrés ont pour côtés [AB], [AC] et [BC]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)