D1805. Trois cercles inscrits
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Le triangle ABC est rectangle en B. Le point D est situe sur AB entre A et B. Les cercles Γ1, Γ2, Γ3 de centres E, F, G sont les cercles inscrits des triangles ACD, BCD et ABC.
Le cercle passant par E, D et F recoupe AB en H.
Montrer que :
– H est le point de contact de Γ3 avec AB,
– la deuxième tangente commune intérieure à Γ1 et Γ2, passe par H,
– HE et HF sont les bissectrices de l'angle formé par cette tangente et AB .
Parce que DE et DF sont bissectrices de BDC et CDA et que BDC+CDA = 180°, EDF est un angle droit .
Soit H la projection orthogonale de G sur AB. Pour montrer que H est sur le cercle EDF, il suffira de prouver que le produit scalaire HE⃗ . HF⃗ est nul.
Origine en B. On pose s = pente de la droite DE, et t = pente de la droite AEG. A un changement d'unité près on peut supposer BC = 1. On a alors BA = a = (t²-1)/(2t) et BD = d = (s²-1)/(2s).
Équations des droites DE , DF, et AEG : y = s(x-d), sy+x – d = 0, et y = t(x-a) . DE coupe AEG en E [x = (ds-at)/(s-t), y = st(d-a)/(s-t)]
DE coupe la bissectrice en G [x = y = at/(t-1)]
DF coupe la bissectrice en F [x = y = d/(s+1)]
mais en substituant à a et d leurs expressions en fonction de s et t , il vient :
E[(s+t)/2, (st+1)/2], G[(t+1)/2, (t+1)/2], F[(s-1)/(2s), (s-1)/(2s)], H[(t+1)/2, 0]
HE⃗ . HF⃗ = ((s-1)/2)((-1-st)/(2s) + ((st+1)/2)((s-1)/(2s)) = 0
Donc la projection de G sur AB, c'est à dire le point de contact de Γ3 avec AB, est aussi le point où le cercle passant par E, D et F ( de diamètre EF ) recoupe AB.
La droite Δ symétrique par rapport à HF de la tangente HB issue de H à Γ2 est tangente à Γ2 . La droite Δ' symétrique par rapport à HE de la tangente HA issue de H à Γ1 est tangente à Γ1 . Mais comme EHF = 90°, Δ et Δ' sont confondues, et cette droite, qui passe par H, est la deuxième tangente commune à Γ1 et Γ2 .
Donc la deuxième tangente commune intérieure à Γ1 et Γ2 passe par H.
Les bissectrices de l'angle des tangentes communes AB et Δ sécantes en H sont bien les droites qui joignent H aux centres E et F des deux cercles Γ1 et Γ2 .
