D167 Une paire de cercles inscrits Solution proposée par Pierre Leteurtre
(… et de cercles circonscrits)
Soit le cercle circonscrit à AHB et le cercle circonscrit à ACH, R l'intersection de la bissectrice BI avec et S celle de CI avec
Les angles en P sont égaux aux angles en B, et PR est bissectrice de PHQ. De la même façon, les angles en Q sont égaux aux angles en B, et QS est bissectrice de PHQ. Enfin les angles en H sous- tendent les mêmes arcs que les angles en A, BHP sur et CHQ sur , et BC est la 3ème bissectrice de PQH.
Donc D est le centre du cercle inscrit dans PQH.
DR et DQ sont perpendiculaires à CI et BI respectivement (il suffit de comptabiliser les rotations qui permettent de passer d'une direction à l'autre). Donc CD = CE et BD = BF.
Il reste à montrer que DI et AH sont parallèles. Soit K l'intersection de AI avec BC. Quand H se déplace le long de BC, le triangle HPQ se transforme par homothétie de centre K. Par application du théorème de Thalès dans KAH, il suffit de montrer le parallélisme dans un cas particulier : celui où Q est confondu avec I ; dans ce cas les angles AHQ et ACI sont égaux (même arc IA sous-tendu sur
) et égaux aussi à HQD.
Revenons maintenant au cas où AH est la hauteur issue de A. Alors ID est perpendiculaire à BC, et
par les égalités CD = CE et BD = BF, on est effectivement dans le problème posé.
