A355 PALINDROME MULTIBASE Problème proposé par Pierre Leteurtre
Q1: montrer qu'il existe une infinité de nombres dont l'expression est un palindrome dans 2 bases de numération différentes, et donner une méthode simple de construction de ces nombres.
Q2: il existe 2 nombres compris entre 100 et 1000 qui sont des palindromes en base 10 et dans 3 autres bases plus petites que 10. Pouvez-vous les trouver sans recourir à un ordinateur?
Q1) Un palindrome en base b² dont les chiffres sont uniquement des zéros et des uns est encore, en base b, un palindrome dont les chiffres sont uniquement des zéros et des uns.
Si l'écriture en base b² comporte n chiffres, l'écriture en base b comportera 2n – 1 chiffres.
Exemple : b8 + b6 + b² + 1 s'écrit 11011 en base b² et devient , en base b, 101000101 .
Plus généralement, un palindrome en base bq dont les chiffres sont uniquement des zéros et des uns est encore, en base b, un palindrome dont les chiffres sont uniquement des zéros et des uns.
Exemple b12 + b9 + b3 + 1 s'écrit 11011 en base b3 et devient , en base b : 1001000001001.
Q2) Un nombre N compris entre 100 et 999 s'écrira
en base 9 avec 3 chiffres si 100<N<729, avec 4 chiffres si 729<N<1000 en base 8 avec 3 chiffres si 100<N<512, avec 4 chiffres si 512<N<1000 en base 7 avec 3 chiffres si 100<N<343, avec 4 chiffres si 343<N<1000 en base 6 avec 3 chiffres si 100<N<216, avec 4 chiffres si 216<N<1000
en base 5 avec 3 chif. si 100<N<125, avec 4 chif. si 125<N<625, avec 5chif. si 625<N<1000 en base 4 avec 4 chif. si 100<N<256, avec 5 chif. si 256<N<1000
en base 3 avec 5 chif. si 100<N<243, avec 6 chif. si 243<N<729, avec 7 chif. si 729<N<1000 Les palindromes en base 9 s'écrivent en base dix sous la forme 82x+9y ou 730x+90y
Les palindromes en base 8 s'écrivent en base dix sous la forme 65x+8y ou 513x+72y Les palindromes en base 7 s'écrivent en base dix sous la forme 50x+7y ou 344x+56y Les palindromes en base 6 s'écrivent en base dix sous la forme 37x+6y ou 217x+42y
Les palind. en base 5 s'écrivent en base dix sous la forme 26x+5y ou 126x+30y ou 626x+130y+25z Les palindromes en base 4 s'écrivent en base dix sous la forme 65x+20y ou 257x+68y+16z
Les palind. en base 3 → en base 10 : 82x+30y+9z ou 244x+84y+36z ou 730x+246y+90z+27u On détecte les palindromes au moins bibases
[10 et 9] : 191, 282, 373, 464, 555, 646, 656 [10 et 8] : 121, 292, 333, 373, 414, et 585 [10 et 7] : 121, 171, 242, 292
[10 et 6] : 111, 141, 191, et 343, 434, 777, 868 (4chif) [10 et 5] : 252, 282 (4chif) et 626, 676 (5chif)
[10 et 4] : 373, 393, 666, 787, 939
[10 et 3] : 121, 151, 212, 242 (5chif) et 484, 656 (6chif) et 757 (7chif)
Déjà on dispose de 2 palindromes quadribases : [10, 9, 8,4] : 373 et [10, 8, 7,3] : 121 et de 5 tribases [10,6,9]:191, [10,3,7]:242, [10,5,9]:282, [10,7,8]:292, [10,3,9]:656 .
On peut vérifier que ces cinq derniers nombres ne sont pas des palindromes en base 2 et donc ne peuvent pas prétendre au statut de palindrome quadribase avec 2 < b < 10.
Résultats : Les seules solutions sont :
121 (base dix) = 171 (base huit) = 232 (base sept) = 11111 (base trois) 373 (base dix) = 454 (base neuf) = 565 (base huit) = 11311 (base quatre)
