D2910. L'ambassade des pôles hyperboliques Problème proposé par Pierre Leteurtre
Soient l'hyperbole équilatère (H) d'axes Ox/Oy et les points A et B quelconques sur des branches différentes de (H) . Δ est la médiatrice de AB.Le cercle de centre M sur Δ et de rayon MA,
recoupe (H) en C et D.
Q1 Quand M décrit Δ, montrer que CD reste parallèle à une direction fixe Δ' et que la distance de M à la droite [CD] est constante.
Q2 Quelle est la relation entre Δ et Δ' ?
Q3 Montrer que quand M est le milieu de AB, CD passe par O et que les tangentes à (H) en C et D sont perpendiculaires à AB .
Q1) Je préfère l'équation de (H) rapportée à ses asymptotes : xy =1 .
Un cercle quelconque d'équation x²+y² – 2mx – 2ny + p = 0 coupe (H) en 4 points de coordonnées (t, 1/t) où t est solution de t4 – 2mt3 + pt² – 2nt + 1 = 0.
Donc 4 points A(a,1/a), B(b,1/b), C(c,1/c), D(d,1/d) avec abcd = 1.
Pente de AB : ((1/b)−(1/a))
(b−a) = −1
(ab) de même pente de CD = −1 (cd)
Comme abcd = 1, les directions de AB et CD sont symétriques par rapport aux axes de (H).
La direction de AB est fixe, celle de CD également.
Q2) Les bissectrices de Δ et Δ' sont parallèles aux asymptotes de (H)
Q3) Si M est milieu de AB, l'équation t4 – 2mt3 + pt² – 2nt + 1 = 0 devient
t4 – (a+b)t3 + pt² – (1/a+1/b)t + 1 = 0, pour que a et b soient parmi les solutions il faut p = (a2∗b2+1) (ab) t4 – (a+b)t3 + (a2∗b2+1)
(ab) t² – (1/a+1/b)t + 1 = (t–a)(t–b)(abt²+1)/(ab)
c et d sont égaux à +1/√(–ab), ils sont opposés donc C et D sont symétriques par rapport à O.
Les tangentes à (H) en C et D ont pour pente –1/c² = ab, or la pente de AB est −1 (ab) (Pente des tangentes)*(Pente de AB) = –1
Les tangentes à (H) en C et D sont bien perpendiculaires à la droite AB.
