D1953 – Trois lieux à la ronde[** à la main]
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Deux cercles C₁ de centre I et C₂ de centre J se coupent en A et B. Une droite Δ passant par A coupe C₁ en M et C₂ en N. Les droites MI et NJ se coupent en P. Sur la droite Δ, on porte les points Q et R de part et d’autre de A tels que AQ = AR = MN. Déterminer les lieux des points P,Q et R quand la droite Δ pivote autour de A et construire la droite Δ telle que MP = NJ.
Angles de droites (IB,IJ)=(MB,MA) et (JI,JB)=(NA,NB) ,(angle inscrit=1/2 angle au centre ) Angles de vecteurs : (IB,IJ)=(MB,MN) et (JI,JB)=(NM,NB),
donc la similitude directe de centre B, qui transforme I en J, transforme M en N et la droite MI en la droite NJ. Enfin (PI,PJ)=(BI,BJ) le point P est sur le cercle passant par les trois points BIJ.
Quand le point M décrit ½ tour sur le cercle C₁ ,le point P fait un tour complet sur le cercle (BIJ) . Le lieu de P est le cercle (BIJ).
AR=MN=MA+AN.
MA = 2 fois projection de IA sur ∆, et AN = 2 fois projection de AJ sur ∆.
Donc AR = 2 fois projection de IJ sur ∆.
Soit R1 le point défini par vecteur AR1 = 2.vecteur IJ, le lieu de R est le cercle de diamètre AR1. Comme Q est symétrique de R par rapport au point A, le lieu de Q est le cercle de diamètre AQ1 , où Q1 est le point de ∆ symétrique de R1 par rapport à A.
