D1880 Directions à respecter MB
Problème proposé par Pierre Leteurtre
On donne le triangle ABC et deux droites orthogonales Δ1/Δ2 qui se coupent en un point O fixe.
Q1 Déterminer les points A' sur CA, B' sur BC, et C' sur AB, tels que les bissectrices des droites BC et AA', CA et BB', AB et CC' soient parallèles aux directions Δ1/Δ2
Q2 Montrer que les droites AA', BB' et CC' sont concourantes en un point P, dont on précisera le lieu quand les droites Δ1 et Δ2 pivotent atour du point O.
Q3 Soient A'' = B'C' ∩ BC, B'' = C'A' ∩ CA et C'' = A'B' ∩ AB. Montrer que A'', B'' et C'' sont alignés sur une droite Δ .
Q1) La droite issue de A telle que (Δ1,AX) = – (Δ1,BC) coupe BC en A'.
Idem pour BY qui coupe AC en B' et CZ qui coupe CA en C'.
Q2) Soit P = AA'∩BB' (Δ1,PA) = – (Δ1,CB) et (Δ1,PB) = – (Δ1,CA) et, par addition, (PA,PB) = – (CB,CA)
(PA,PB) = (CA,CB) donc AA' et BB' se coupent sur le cercle circonscrit au triangle ABC.
De même pour BB' et CC'. Le point P distinct de B où la droite BB' recoupe ce cercle appartient aussi aux droites AA' et CC'.
Les 3 droites AA', BB', CC' sont concourantes en un point P dont le lieu, quand les droites Δ1 et Δ2 pivotent atour du point O est le cercle (Γ) circonscrit au triangle ABC.
Q3) C'A'' est la polaire de A' par rapport à (Γ). (A'A''BC) sont en division harmonique, A ''B / A''C = – A'B / A'C, De même B''C / B''A = – B'C / B'A et C''A / C''B = – C'A / C'B.
AA', BB', CC' sont concourantes, donc (th de Céva ) (A'B / A'C)*(B'C / B'A)*(C'A / C'B) = +1.
D'où (A''B / A''C)*(B''C / B''A)*(C''A / C''B) = – 1 .
Le théorème de Ménélaüs s'applique : les points A'', B'', C'' sont donc alignés.
