D1979 Deux lieux en terres équilatérales Solution proposée par Pierre Renfer
1) Concours des droites (AA'), (BB'), (CC')
On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (ABC).
Soient (,,) les coordonnées du point M.
Comme (-2,1,1) sont les coordonnées du point à l'infini des droites orthogonales à (BC), l'équation de la perpendiculaire à (BC) passant par M s'écrit :
z ) 2 ( y ) 2 ( x ) ( 0 1
z 1 y
2 x
Le projeté orthogonal P de M sur (BC) a donc pour coordonnées :
2 2 0 P
Comme la somme des coordonnées de P est le double de celle des coordonnées de M, on obtient les coordonnées de A' (symétrique de M par rapport à P) en soustrayant les coordonnées de M à celles de P :
- ' A
La droite (AA') a pour équation : 0 ( ) y ( ) z
0 z
0 y
1 x
Les équations de (BB') et (CC') s'obtiennent par permutation circulaire : (AA') : ()y()z0
(BB') : ()z()x0 (CC') : ()x()y0
On obtient les coordonnées du point M' qui vérifient les trois équations :
1 1 1
' M
Ce point M' est éventuellement à l'infini si la somme de ses coordonnées est nulle. On est alors dans le cas particulier du parallélisme des droites (AA'), (BB'), (CC').
2) Lieu des points M tels que M' soit à l'infini
Soit i l'inversion isotomique qui à un point P associe le point dont les coordonnées sont les inverses de celles de P.
Soit :
i( M' )
"
M
Si l'on suppose que 1, alors :
3 / 1
3 / 1
3 / 1 3 1
1 1
Le point M" est donc barycentre de (O,3) et (M,-1), où O désigne le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
OM 2
" 1 OM
M" est l'image de M par l'homothétie h, de centre O, de rapport 2
1 )
M ( h i '
M et Mh1 i(M')
Lorsque M' décrit la droite de l'infini, d'équation xyz0, M" i(M') décrit le cercle , d'équation yzzxxy 0 et Mh1(M") décrit le cercle 'h1().
est le cercle circonscrit au triangle ABC et ' le cercle de même centre et de rayon double.
3) Lieu de M' lorsque M décrit une droite
Lorsque M décrit une droite D, h(M) décrit une droite D' , d'équation axbycz0. Et alors M'ih(M) décrit la conique Q, d'équation ayzbzxcxy0.
Il s'agit d'une conique passant par A, B, C.
Lorsque D ne rencontre pas le cercle 'h1(), D' ne rencontre pas le cercle et la conique Q n'a pas de point à l'infini et elle est une ellipse.
Lorsque D coupe le cercle 'h1() en deux points, D' couple le cercle en deux points et la conique Q a deux points à l'infini et elle est une hyperbole (ou une réunion de deux droites).
Lorsque D est tangente au cercle 'h1(), D' est tangente au cercle et la conique Q a un seul point à l'infini et elle est une parabole (ou une droite double) .
Lorsque D rencontre l'un des trois points h1(A), h1(B) ou h1(C), D' rencontre l'un des trois points A, B ou C et l'un des coefficients a, b, ou c de l'équation de D' est nul et la conique Q est dégénérée en une réunion de deux droites.
Lorsque D passe par O, la conique Q passe aussi par l'orthocentre O du triangle ABC et elle est une hyperbole équilatère (ou une réunion de deux droites orthogonales).
