D.1989 Solution proposée par Pierre Renfer

D.1989

Solution proposée par Pierre Renfer

On note comme d'habitude a, b, c les longueurs des côtés du triangle ABC.

Le point M est l'isobarycentre de B et C et D est le barycentre de (B,b²) et (C,c²).

1) Une solution analytique dans le repère affine (A,B,C)

Soient P et Q deux points de coordonnées barycentriques (x₁,y₁,z₁) et (x₂,y₂,z₂), de somme 1.

Alors : ^AP^y₁^AB^z₁^AC^ et ^AQ^y₂^AB^z₂^AC^











PQ y AB z AC , où yy₂ y₁ et zz₂ z₁

) a c b ( yz z b y c

A cos yz bc 2 z b y c

AC AC yz 2 z b y c PQ

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2











































 ^{ }

Cette formule permet de calculer AM et AD, à l'aide des coordonnées barycentriques :

0 0 1

A

2 1 2 1 0

M

2 2

2 2 2

2

c b

c c b

b 0 D

4 a ) c b ( AM 2

2 2

2   2   et _{2 2 2}

2 2 2 2

2 2

) c b (

) a ) c b ( 2 ( c AD b









 

Donc : _{2 2}

c b

bc 2 AM AD

 

Et :

2 2

2

2 2

2 2

AC AB

AC AB )

c b (

) b c ( c b

bc 1 2

c b

bc 1 2

AD AM

AD

AM 



 







 



 

 

 

 



2) Une solution à l'aide des fonctions scalaires de Leibniz

Soit  la fonction scalaire de Leibniz définie par : (P)PB²PC² 2PM²(M) Alors :

2 AM a 2 ) M ( AM 2 c b ) A (

2 2 2

2

2      



 (formule de la médiane)

On retrouve :

4 a ) c b ( AM 2

2 2

2   2 

Soit  la fonction scalaire de Leibniz définie par : ) D ( PD ) c b ( PC c PB b ) P

(  ² ²  ² ²  ²  ²  ²



Alors : (A)2b²c² (b²c²)AD²(D)

Et :







































) (L ) D ( CD ) c b ( b a ) C (

) (L ) D ( BD ) c b ( c a ) B (

2 2 2

2 2 2

2 1 2 2 2 2

Par combinaison linéaire b²L₁c²L₂, on obtient : 2a²b²c² 2(b² c²)(D)

Donc : _{2 2}

2 2 2 2

2 2 2 2

c b

c b AD a

) c b ( c b 2 ) A

( 



 















Et l'on retrouve : _{2 2 2}

2 2 2 2

2 2

) c b (

) a ) c b ( 2 ( c AD b









 