D1873 To be or not to be
Solution proposée par Pierre Renfer
Soient a, b, c les longueurs des côtés BC, CA, AM du triangle ABC.
Pour le triangle ABC, on note p le demi-périmètre, S l’aire, r le rayon du cercle inscrit et R le rayon du cercle circonscrit.
On connaît les relations :
S2 p(p a)(p b)(p c ) S p r
4R S abc
On en déduit : (p a) (p c)(p c) p r 2
On développe le premier membre en fonction de a b c 2p, ab bc ca , abc 4Rpr :
On obtient : p3 2p3 p 4Rpr p r 2
Donc : p2 4Rr r 2
Les nombres a, b, c sont donc les racines du polynôme du troisième degré :
3 2 2 2
P(X) X 2p X (p 4Rr r )X 4Rpr
Les valeurs numériques de l’énoncé donnent : P(X ) X 3 134 X 25929 X 86832
La dérivée de P(X) est : P'(X ) 3X 2 268 X 5929 Le discriminant réduit de P’(X) est 169
Les racines de P’(X) sont donc 49 et 121 3 Pour X 121
3 , le polynôme P(X) atteint le maximum local P 121 1904
3 3
Le polynôme P(X) n’a donc qu’une seule racine réelle.
Donc le triangle ABC n’existe pas.
