Enoncé D1873 (Diophante) To be or not to be
Existe-t-il un triangle ABC dont le périmètre est égal à 134 centimètres, le rayon du cercle inscrit est égal à 12 centimètres et le rayon du cercle circonscrit est égal à 27 centimètres ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soit (O, R) le cercle circonscrit, (I, r) le cercle inscrit. La droiteOI coupe le cercle circonscrit selon le diamètreM Net le cercle inscrit selon le diamètre P Q.
Selon la formule classique,OI2 =R(R−2r) = 27·3, d’oùOI = 9. J’admets que ces points sont dans l’ordreM, P, O, I, Q, N, séparés par des segments de 24, 3, 9, 12 et 6 cm.
Cette valeur de la distanceOIpermet, à partir d’un point quelconqueAdu cercle circonscrit, de tracer deux tangentes au cercle inscrit qui recoupent le cercle circonscrit en B etC avec BC tangente au cercle inscrit.
Deux des triangles inscrits et circonscrits aux deux cercles admettent OI pour axe de symétrie.
L’un correspond à A enM etBC perpendiculaire en Qà OI; QB2= 272−212 = 288 ; BC= 2QB= 24√
2 ; AB2 = 482+ 288 = 2592, AB+AC = 2√
2592 = 72√
2, et le périmètre est 96√
2 = 135,76. . .
L’autre correspond à A en N etBC perpendiculaire enP à OI; P B2 = 272−32 = 720 ;BC = 2QB = 24√
5 ; AB2 = 302+ 720 = 1620, AB+AC = 2√
1620 = 36√
5, et le périmètre est 60√
5 = 134,16. . .
Dans chacune de ces positions, la variable périmètre 2p est stationnaire vis-à-vis du déplacement de A. Je vais montrer que les seuls extrema du périmètre sont quand A, B ou C passent en M ou N. Le périmètre ne peut prendre de valeur extérieure à l’intervalle correspondant à ces confi- gurations.
Cela conduit à répondre négativement à la question posée pour un péri- mètre 134.
En effet, compte tenu queA+B+C=π, les angles B etC sont liés par la condition
r/R= cosB+ cosC−cos(B+C)−1 (théorème de Carnot), alors que le périmètre 2p vérifie
p/R= sin(B+C) + sinB+ sinC.
Différenciant ces expressions,
dp/R= (cos(B+C) + cosB)dB+ (cos(B+C) + cosC)dC, 0 =dr/R= (sin(B+C)−sinB)dB+ (sin(B+C)−sinC)dC.
On voit que le périmètre est stationnaire (dp= 0 avecdB, dC 6= 0) quand s’annule le jacobien
∂(p, r)
∂(B, C) = cos(B+C) + cosB cos(B+C) + cosC sin(B+C)−sinB sin(B+C)−sinC
= 4 sinB−C
2 sinA−B
2 sinA−C 2 .
Ainsi les extrema du périmètre sont réservés aux triangles isocèles ; ceux-ci ontOI pour axe de symétrie, portant un des sommets, CQFD.
Avec les données du cas général R, ` = OI et r = R/2−`2/(2R), cela donnep(3R+`)3(R−`)≤2pR≤p(3R−`)3(R+`).
