D1868. Une sangaku à la romaine
Problème proposé par Claudio Baiocchi
Donner tout renseignement permettant de construire la figure suivante à partir du petit cercle dont le rayon est égal à l’unité :
PROPOSITION Th Eveilleau
Soit R le rayon de chaque grand cercle et r celui du petit cercle.
Je suppose que le rayon de chacun des deux grands cercles est le double de celui du petit donc 2.
Soit l’angle de la diagonale du rectangle avec sa longueur horizontale.
Soient l et L les largeurs et longueurs du rectangle.
r = 1 ; R = 2.
Nous avons
L = 2R + R * cos R (2 + cos ) l = 2R - R * sin R (2 - sin ) Donc tan = (2 - sin ) / (2 + cos ) i.e sin / cos/ = (2 - sin ) / (2 + cos ) SOIT tan = 1 – sin
Posons t = tan
Nous avons :
sin = 2t/(1+t²) ; tan = 2t/(1-t²) Nous obtenons :
2t/(1-t²) = 1 - 2t/(1+t²) qui nous mène à l’équation : t4 + 4t – 1 = 0
Nous retenons la valeur exacte t =
très proche de 0.249 donc de 0.25=1/4.
Le problème est de construire précisément un angle de cette valeur.
Pour les courageux rigoureux…
Ce nombre est constructible à la règle et au compas :
en effet est la diagonale d’un carré de côté 1. Ensuite on obtient facilement .
La racine carrée de ce dernier nombre s’obtient à la règle et au compas avec la méthode de Descartes : http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/r_carree.htm
Ou même page avec adresse sécurisée ici :
https://therese-eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/r_carree.htm
Diviser par revient à multiplier par
et iceci se fait encore avec Descartes à la règle et au compas ICI :
http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/multipli.htm OU https://therese-eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/multipli.htm Connaissant tan on pourra construire exactement l’angle cherché..
SINON au dixième de degré près
Cela donne /2 13.982°et enfin /2 27.964°
La tangente de /2 étant très proche de ¼, il est relativement aisé de construire cet angle à partir d’une tangente de ¼.
Cette construction bien qu’approximative est quasi parfaite, l’angle étant construit au dixième de degré près.
Doubler ensuite comme ci-contre, cet angle /2 pour obtenir .
Une dernière méthode
Pour trouver cet angle
tel que tan = 1 - sin, on peut procéder comme sur la figure ci-dessous.RT=ST=1.
(RT)
┴
(ST)Déplacer la demi-droite issue de R qui coupe (ST) en M, et la perpendiculaire en S à (ST) en K, jusqu’à ce que le segment MK soit de longueur1
Alors on aura la relation souhaitée et l’angle sera construit.
Une fois connue cette valeur d’angle connue et l’angle construit, il devient aisé de construire la sangaku.
-On construit les trois cercles de centres alignés : O, O1 et O2. Leurs rayons étant r=1 et R=2.
- Construire la droite () passant ces trois centres.
-Construire la demi-droite () faisant un angle avec la droite ().
Elle coupe le cercle (C) en un point de contact, point de tangence du cercle avec le rectangle : T.
La perpendiculaire à coupe le cercle (C) en un autre point T’.
La perpendiculaire en T à O2T, coupe la droite (OO1) en A,.
La perpendiculaire en T’ à O2T’ coupe droite (OO1) en C.
Ces deux dernières perpendiculaires se coupent en B.
Il suffit de terminer l construction du rectangle ABCD.
Figures ci-après
