1983. Variations sur un thème connu -4ème épisode Problème proposé par Dominique Roux
On reprend les notations de l'énoncé D1980, et l'on suppose que (L) est la tangente en O au cercle (ABC)
1) Quelle courbe décrit le point P lorsque O parcourt le cercle (ABC) ? Préciser la tangente en P à cette courbe.
2) On désigne par W et r le centre et le rayon du cercle d'Euler du triangle ABC
Un cercle de diamètre [MN] et de rayon 2r roule sans glisser à l'intérieur du cercle de centre W et de rayon 3r. Quelles sont les trajectoires des points M et N ? Préciser le point de contact du segment [MN] avec son enveloppe.
Notations rayon du cercle (ABC) = 1 ; points repérés par leurs affixes A(a), B(b), C(c), O(d), P(z).
Projection A' de A sur la tangente en O : a' = (a+2d – d²/a)/2 ̄a ' = ( 1/a + 2/d – a/d²)/2 A'P perpendiculaire à BC équivaut à (z – a')/(b – c) + ( ̄z−̄a ' )/( ̄b−̄c ) = 0
(z – a')( ̄b−̄c ) + ( ̄z−̄a ' )(b – c) = 0 les calculs se développent pour aboutir à :
d4 – 2ad3 - d²(a²+2abc ̄z – 2az – bc) + 2abcd – a²bc = 0 , et, par permutation a→b→c→a d4 – 2bd3 - d²(b²+2abc ̄z – 2bz – ca) + 2abcd – b²ca = 0 , par soustraction ̄z s'élimine : 2(a – b)d3 +d²(a² – b² – 2z( a – b) + c(a – b)) + abc(a – b) = 0, on résoud par rapport à z , après simplification par (a – b) : z = d + abc
2d²+(a+b+c)
2 Lorsque O parcourt le cercle (ABC), le point P décrit une Hypocycloïde à trois rebroussements : son centre est le point d'affixe
(a+b+c)
2 , c'est le centre W du cercle d'Euler, lorsque le point d'affixe d + (a+b+c)/2 tourne d'un angle θ le vecteur d'affixe abc
2d² , de module 1
2 tourne d'un angle –2θ. Si le rayon du cercle (ABC) est 1, celui du cercle d'Euler est 1/2, et celui du cercle (Γ) qui passe par les trois points de rebroussement de l'H3 est 3/2. Quand arg(d) = arg(abc) /3 ( mod 2Π/3 ), P est point de
rebrousement.
Dans cette deuxième figure sont plaçés le point O' d'affixe d + (a+b+c)
2 , le point I de (Γ) d'affixe 3d/2 + (a+b+c)
2 , le cercle de centre O' et de rayon O'I=O'P= 1/2 , de diamètre PP' . L'affixe de O'I est d/2, l'affixe de O'P est abc
2d² , l'angle de vecteurs (O'I,O'P) est égal à l'argument de abc
2d² /(d/2) = argument de abc
d3 . Quand l'angle de vecteurs (WA,WI) augmente de θ, le point I décrit un arc de cercle de mesure 3θ/2 l'angle (O'I,O'P) diminue de 3θ, et la mesure de l'arc de cercle IP diminue de (3θ).(1/2) = 3θ/2, il y a donc en I un roulement sans glissement du cercle de diamètre PP' dans le cercle (Γ).
Préciser la tangente en P à cette courbe : C'est la perpendiculaire en P à IP.
Q2) On change d'échelle, le rayon du cercle (ABC) est 2r, celui de (Γ) est 3r, les points P et P' se nomment maintenant M et N, ils décrivent deux H3 qui se correspondent par rotation de + 60° de centre W. Le point de contact T du segment MN, alias PP', avec son enveloppe est la projection orthogonale du centre instantanné de rotation I sur PP', il appartient donc au cercle de diamètre IO', de centre O'', de rayon r/2. Angle au centre = 2 fois angle inscrit, donc (O''T,O''I) + 2.(O'I,O'P) = 0.
Les arcs de cercles IP' du cercle de centre O' de rayon r, et IT du cercle de centre O'' de rayon r/2 ont la même longueur, ce dernier cercle, avec son rayon O''T, roule encore sans glisser à l'intérieur du cercle (Γ). L'enveloppe du segment MN, alias PP', est la courbe décrite par le point T : C'est une hypocycloïde à 6 rebroussements. ** VOIR PAGE 3 les TROIS HYPOCYCLOÏDES **
