D238. A la recherche du polygone régulier
Quatre points A, B, C et D sont situés dans cet ordre sur la circonférence d’un cercle. Les cordes AB, BC et CD sont égales entre elles et l’on a la relation 1/AB = 1/AC + 1/AD. Montrer que les quatre points sont des sommets d’un polygone régulier dont on déterminera le plus petit nombre possible de côtés.
Avec le rayon du cercle:
= 1 1 + 1
⇒ 1
2 sin 2 = 1 2 sin 2 2
+ 1
2 sin 3 2
En simplifiant par 2 et en réduisant au même dénominateur et en égalant les numérateurs : sin . sin 3
2 = sin
2 . sin 3
2 + sin 2 . sin En transformant les produits de sinus en somme de cosinus :
2 − 5 2
2 = − 2
2 + 2 − 3 2 2
En multipliant par 2, en réduisant, et en réorganisant : + 5
2 = 3
2 + 2 En transformant les sommes de cosinus en produit de la même race :
2 7
4 3
4 = 2 7
4
4
⇒ 3
4 =
4 ⇒ 3
4 = ±
4 +2 ⇒ = 4 = 2 7
4 = 0 ⇒ 7
4 = ±
2 + 2 ⇒ = 2
7 + 2 7
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