D238. A la recherche du polygone régulier
Quatre points A, B, C et D sont situés dans cet ordre sur la circonférence d’un cercle. Les cordes AB, BC et CD sont égales entre elles et l’on a la relation 1/AB = 1/AC + 1/AD.
Montrer que les quatre points sont des sommets d’un polygone régulier dont on déterminera le plus petit nombre possible de côtés.
Solution proposée par Patrick Gordon
Soit n le nombre de côtés du polygone régulier cherché et k le nombre de côtés que chacune des cordes AB, BC et CD "embrasse" dans ledit polygone.
Prenons pour unité le rayon du cercle.
La corde AB a pour longueur 2 sin (k/n).
La corde AC a pour longueur 2 sin (2k/n).
La corde AD a pour longueur 2 sin (3k/n).
On veut donc que :
1 / sin (k/n) = 1 / sin (2k/n) + 1 / sin (3k/n).
Cette égalité est réalisée pour n = 7 et k = 1.
Comme on voit directement qu'elle ne l'est pas pour n = 4 , 5 ni 6, ce résultat est bien celui cherché.
Les points A B C D sont à des sommets adjacents (k = 1) d'un heptagone régulier (n = 7).
