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D20069. Polygone en réseau

Les sommets d’un polygone régulier ont tous des coordonnées (dans un cer- tain système d’axes, qui peuvent être obliques) de la forme (ma, nb) avec a etblongueurs données,m etnentiers. Montrer que ce polygone a 3, 4 ou 6 côtés.

Solution

SoitA1A2. . . Ap le polygone régulier, dont les sommets appartiennent au ré- seau des points de coordonnées (ma, nb). Si 3 sommets d’un parallélogramme appartiennent au réseau, le 4e aussi.

Suivons la méthode de Christian Stéfani et Pierre Ranvier : ils forment, à partir d’un polygone régulier convexe A1A2. . . Ap de p > 4 côtés, le poly- gone B1B2. . . Bp dans lequel Bi complète le parallélogramme Ai−1AiAi+1

et appartient au réseau si c’est le cas desAi.

Ce polygone est homothétique au premier par rapport au centre O, dans le rapport 2 cos(2π/p)−1 (strictement compris entre −1 et 1), et ne se réduit pas au pointOsip6= 6. D’où, en répétant l’opération, une infinité de polygones de plus en plus petits, impossibles à inscrire dans un réseau sauf sip= 3, 4 ou 6.

Ce théorème a été publié en 1946 par W. Sherrer.

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