D20294. Métrique du tridécagone
Dans un polygone régulier convexeP1P2. . . P13, on notedi=|P1Pi+1|pour 1≤i≤6. Les 13 diagonales de longueur d6 entourent un petit tridécagone régulier convexe de côtés.
On demande d’exprimer s comme somme P61cidi, les coefficients ci étant entiers.
Solution
Prenons pour unité de longueur le rayon du cercle circonscrit au polygone.
Alorsdi = 2 sin(πi/13) ; le petit tridécagone est vu deP1 sous l’angleπ/13, d’où son apothème sin(π/26) = (s/2) cot(π/13), puis
scos(π/13) = 2 sin(π/13) sin(π/26) = sin(6π/13)−sin(5π/13).
Commes=Pcidi etdicos(π/13) = sinπi+ 1
13 + sinπi−1 13 , on a
Pcidicos(π/13) =c2sin(π/13)+(c1+c3) sin(2π/13)+(c2+c4) sin(3π/13)+
+ (c3+c5) sin(4π/13) + (c4+c6) sin(5π/13) + (c5+c6) sin(6π/13).
Identifiant à sin(6π/13)−sin(5π/13), on a c2= 0 =c4,c6 =−1,c5 = 2 =−c3=c1. Ainsis= 2d1−2d3+ 2d5−d6.
