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D238. A la recherche du polygone régulier

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Academic year: 2022

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D238. A la recherche du polygone régulier Solution proposée par Philippe Bertran

Soient O le centre du cercle, R son rayon et 2a la valeur commune aux angles AOB, BOC et COD.

2a peut être choisi compris strictement entre 0 et , donc a compris strictement entre 0 et /2.

AB = 2Rsina , AC = 2R sin2a , AD = 2Rsin3a

La condition de l’énoncé s’écrit donc : 1/sina = 1/sin2a + 1/sin3a ou 1/sina - 1/sin3a = 1/sin2a

soit (sin3a - sina)sin2a = sina.sin3a

ou 2sina.cos2a.sin2a = sina.sin3a

soit encore sina.sin4a = sina.sin3a soit, puisque sin a ne peut pas être nul, sin4a = sin3a

Avec la condition initiale, a peut prendre les valeurs /7 et 3/7. Da ns les deux cas, A,B, Cet D sont sommets d’un polygone régulier à 7 côtés.

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