Partie I. Caractérisation d'un polygone régulier direct.

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MPSI B 2012-2013 DS 1 29 juin 2019

Exercice.

Exercices

1. Calculer _n

X

k=0

(k+ 1) n

k

2. Discuter suivant le paramètre réelmet résoudre l'inéquation d'inconnue réellex (m+ 2)x+ 1< 1 +x+x²

1−x

3. Soitnun entier supérieur ou égal à 1, etk∈ {0,1, . . . n−1}. Montrer que

n k

2n k

−

n k+1

2n k+1

= 1 2

n k

2n−1 k

En déduire une expression simple de

n

X

k=0 n k

2n−1 k

Problème.

On se place dans un plan ane euclidien muni d'un repère orthonormé permettant d'as- socier une axe complexe à chaque point du plan.

Partie I. Caractérisation d'un polygone régulier direct.

Soitnun entier naturel supérieur ou égal à3 etA1, A2,· · · , An des points deux à deux distincts dont les axes sonta1, a2,· · ·, an.

On note G (d'axe g) le centre de gravité de la famille des points A1, A2,· · ·, An. On rappelle que

g= 1

n(a1+a2+· · ·+an) Soitα= ^2π_n et Rla rotation de centreGet d'angleα.

On dira queA1, A2,· · ·, An est un polygone régulier direct si et seulement si

A2=R(A1), A3=R(A2), · · · An=R(A_n−1), A1=R(An)

Au lieu de polygone régulier direct, on dira triangle équilatéral direct lorsquen= 3et carré direct lorsquen= 4.

1. Calculer sous la formea+ibavecaet bréels les nombres complexes suivants

1 + 3i

1−i , 3 +i 1−i

2. a. SoitZ (d'axez) un point du plan. Préciser l'axe (notéer(z)) du pointR(Z). b. Pourkentier naturel, on noter^k=r◦r◦ · · · ◦r(composéekfois). Calculer

a1+r(a1) +r²(a1) +· · ·+rⁿ⁻¹(a1)

3. a. Montrer queA1, A2,· · ·, An est un polygone régulier direct si et seulement si

A2=R(A1), A3=R(A2), · · · An=R(A_n−1)

b. Montrer queA₁, A₂,· · ·, A_n est un polygone régulier direct si et seulement si A2=R(A1), A3=R(A2), · · · A_n−1=R(A_n−2)

4. Montrer queA₁, A₂, A₃ est un triangle équilatéral direct si et seulement si a₁+ja₂+j²a₃= 0

5. a. Montrer queA1, A2, A3, A4est un carré direct si et seulement si

((−1 + 2i)a1−(1 + 2i)a2+a3+a4= 0 a1+ (−1 + 2i)a2−(1 + 2i)a3+a4= 0

b. En combinant les lignes du système précédent, montrer queA1, A2, A3, A4est un carré direct si et seulement si

(a1+ia2=a3+ia4

a₁+a₃=a₂+a₄ et interpréter géométriquement ces relations.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S1201E

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Partie II. Triangles semblables.

SoientA, B,C trois points deux à deux distincts et respectivement d'axesa, b,c. On note alors

W(A, B, C) = a+jb+j²c

a+j²b+jc lorsque a+j²b+jc6= 0

SoientA⁰,B⁰,C⁰ trois points deux à deux distincts et respectivement d'axesa⁰,b⁰,c⁰. On dira que les triangles (A, B, C)et (A⁰, B⁰, C⁰)sont directement semblables si et seulement si il existe des nombres complexesu6= 0 etv tels que

a⁰=ua+v, b⁰=ub+v, c⁰=uc+v 1. Déterminer le réelKtel que, pour tous les nombres complexesa,b,c,

a+jb+j²c

2−

a+j²b+jc

2=K Im(a¯b+b¯c+c¯a)

2. Montrer queA,B,C sont alignés si et seulement si a¯b+b¯c+c¯a∈R 3. a. Dans quel casW(A, B, C)est-il non déni ?

b. Dans quel casW(A, B, C)est-il de module 1 ?

4. a. On suppose que (A, B, C) et (A⁰, B⁰, C⁰) sont directement semblables. Montrer

que 





a+j²b+jc=a⁰+j²b⁰+jc⁰ = 0 ou

W(A, B, C) =W(A⁰, B⁰, C⁰)

b. On supposeW(A, B, C)etW(A⁰, B⁰, C⁰)dénis et égaux. Montrer que(A, B, C) et(A⁰, B⁰, C⁰)sont directement semblables.

5. On suppose queW(A, B, C)est déni et que les pointsA⁰,B⁰,C⁰ ont respectivement pour axe ¯a, ¯b, ¯c. Dans quel cas W(A⁰, B⁰, C⁰) est-il déni ? Exprimer le alors en fonction deW(A, B, C).

Partie III. Construction.

SoientA,B,C trois points d'axesa,b,c. On les suppose deux à deux distincts et non alignés. On dénit les pointsA₁,B₁,C₁ d'axesa₁,b₁,c₁ par les relations

a1=a+i(b−c), b1=b+i(c−a), c1=c+i(a−b)

A

1

B

₁

C

1

A B

C

Fig. 1: Triangles formés avec A₁,B₁,C₁

1. a. Les pointsA,B,C étant donnés, comment peut-on construireA1,B1,C1? b. Montrer que les triangles(A, B, C)et(A1, B1, C1)ont le même centre de gravité.

c. Montrer que les triangles (A1, B1, C), (B1, C1, A), (C1, A1, B) sont rectangles et isocèles.

2. On admet (g2) qu'il existe des pointsA,B,Ctels que les axes deA1,B1,C1soient respectivement1, −1 etx∈R.

a. Exprimera,b, cen fonction dex.

b. Quels sont les ensembles décrits parA,B,C lorsquexvarie dansR?

3. On cherche à déterminer si les triangles(A, B, C)et (A1, B1, C1) peuvent être directement semblables.

a. Mettre sous la formeu+iv avecuet vréels les nombres complexes suivants 1−ij+ij², i+j−ij², −i+ij+j² b. Exprimera₁+jb₁+j²c₁ en fonction dea+jb+j²c.

c. Exprimera₁+j²b₁+jc₁ en fonction dea+j²b+jc.

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A

1

(1)

B

1

(−1) C

1

(x)

A B C

Fig. 2:A₁, B₁,C₁ alignés sur l'axe réel

d. Montrer que si (A, B, C) et (A1, B1, C1) sont directement semblables alors (A, B, C)est équilatéral.

e. Montrer que si(A, B, C)est équilatéral alors(A, B, C)et(A1, B1, C1)sont directement semblables et préciser le centre, le rapport et l'angle de la similutude.