D238 : A la recherche du polygone régulier
Quatre points A, B, C et D sont situés dans cet ordre sur la circonférence d’un cercle. Les cordes AB, BC et CD sont égales entre elles et l’on a la relation 1/AB = 1/AC + 1/AD.
Montrer que les quatre points sont des sommets d’un polygone régulier dont on déterminera le plus petit nombre possible de côtés.
Puisque AB=CD, l’on a 1/CD=1/AC+1/AD, relation entre les cotés du triangle ACD. Si x désigne l’angle DAC, l’angle ADC vaut 2x et l’angle ACD vaut π-3x. Les cotés CD, AC et AD sont donc proportionnels respectivement à sinx, sin2x et sin3x, et on doit avoir 1/sinx=1/sin2x+1/sin3x, ou encore sin2x sin3x= sinx sin2x+sinx sin3x. Or, 2sinx sin2x=cosx-cos3x, 2sinx sin3x=cos2x-cos4x, 2sin2x sin3x=cosx-cos5x, et en simplifiant par sinx≠0, cos5x+cos2x=cos4x+cos3x ou encore
cos(7x/2)(cos(5x/2)-cos(x/2))=0, ou cos(7x/2)sin(3x/2)sin(2x)=0; les seules solutions donnant un angle aigu non nul sont obtenues pour cos(7x/2)=0, 7x/2=π/2 (mod π), soit x=π/7 (mod 2π/7), la première solution donnant un heptagone (x=π/7)