D265 une PROPRIETE BISECULAIRE
Soit un polygone régulier de 2016 côtés inscrit dans un cercle de rayon unité.Une triangulation de ce polygone consiste à le partager en 2014 triangles qui ne se recouvrent pas et dont les sommets sont choisis exclusivement parmi les sommets du polygone.
Démontrer que la somme des rayons de tous les cercles inscrits à ces triangles ne dépend pas de la triangulation choisie et qu’elle est égale à une constante que l’on déterminera avec une précision de quatre décimales après la virgule.
Source : sangaku japonaise.
Commençons avec une triangulation dont tous les triangles ont au moins deux sommets qui sont consécutifs sur le polygone. Pour un polygone régulier dont le nombre de sommets est pair, deux de ces triangles ont pour côté commun un diamètre : Triangulons seulement un demi cercle.
Peu importe que tous les triangles aient un sommet commun ( fig. gauche ) ou des sommets répartis de façon quelconque (fig. droite) car les triangles des deux figures sont isométriques, les rayons de cercles inscrits sont les mêmes. Soit n le nombre de sommets du polygone régulier. Posons a = 180°/n.
Le théorème de Lazare Carnot qui relie les rayons r et R des cercles inscrit et circonscrit aux distances du centre aux côtés donne pour les r successifs :
r1 = cos a – cos 2a + cos a – 1
r2 = cos 2a – cos 3a + cos a – 1 …. rn/2 – 1 = cos (n/2-1)a – cos (n/2)a + cos a – 1
Totalisons, cos (n/2)a = cos 90° = 0, Σri = (n/2) cos a – n/2 + 1 = 1 – (n/2)(1 – cos a), pour un demi cercle.
Pour le cercle entier, et avec n = 2016, Σri = 2 – 2016.(1 – cos (180/2016)°) = 2 – 2016.(1 – cos (5/56)°) Valeur approchée: 1,99755.
Si la triangulation comporte un triangle AhApAq non conforme au modèle précédent, accompagné des (q-p-1) triangles conformes ApAp+1Ap+2 , ApAp+2Ap+3 , … , ApAq-1Aq , comparons la somme des rayons des cercles inscrits avec la somme qu'on obtiendrait en couvrant la même surface avec (q-p) triangles tous conformes.
Figure de gauche : Σri =[cos (p-h)a + cos (q-p)a – cos (q-h)a – 1] + [ (q-p)cos a – cos(q-p)a -(q-p) +1]
Σri =cos (p-h)a – cos (q-h)a + [ (q-p)cos a – (q-p) ] Figure de droite : Σr'i = cos (p-h)a – cos (q-h)a + (q-p)cos a – (q-p) On constate que Σr'i = Σri .
Si le centre du polygone est intérieur au triangle AhApAq , les calculs diffèrent légèrement mais conduisent encore à Σr'i = Σri . Même si la triangulation du polygone comporte plusieurs triangles ''non conformes'', on pourra, sans changer le nombre de triangles, se ramener à une triangulation avec des triangles tous conformes La somme des rayons de tous les cercles inscrits à ces triangles ne dépend pas de la triangulation choisie.
