Enoncé D279 (Diophante) Les trois inconnues du polygone
Un polygone régulier àncôtés est inscrit dans un cercle de centre O dont le rayon est un entier r. Sur la droite qui relie O à l’un des sommets du polygone, on trace un point P extérieur au po- lygone tel que la distance d= OP est un multiple entier > 1 de r. Le produit des longueurs des segments qui relient P à tous les sommets du polygone est égal à 1881792. En déduiren,r etd.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Prenant OP comme axe polaire du plan complexe, les affixes des sommets du polygone sont zk = rexp(2kπ/n) s’il y a un som- met entre O et P (ce qui est toujours le cas si n est pair), zk =
−rexp(2kπ/n) sinon.
Le produit des longueurs est le produit des modules Qk|d−zk|, qui est le module du produit |Qk(d−zk)|= dn−rn s’il y a un sommet entreO etP, =dn+rn sinon.
Il s’agit donc de discuter l’équationdn±rn= 1881792 = 26·35·112. Supposons d’abordr= 1 ; alorsdn= 1881793 ou 1881791. Aucun de ces nombres n’est une puissance exacte (respectivement 31· 60703 et 23·81817).
Sir >1, comme d/r est entier, on a (d/r)n±1 = 26·35·112/rn. L’exposantnen dénominateur du second membre ne peut dépasser 6, plus grand exposant au numérateur.
Sin= 6, r= 2 et (d/r)n±1 = 1881792/64 = 29403. Ni 29404 ni 29402 ne sont des puissances 6èmes.
Sin= 5, r est un diviseur de 6 ; sir = 2, 1881792/25 = 58806, ni 58805 ni 58807 ne sont des puissances 5èmes. Sir= 3, 1881792/35 = 7744, ni 7743 ni 7745 ne sont des puissances 5èmes ; mais sir= 6, 1881792/65 = 242, 241 n’est pas une puissance 5ème mais 243 = 35, ce qui donne la solutiond/r= 3, n= 5,r = 6,d= 18.
Sin= 4, à nouveaur est un diviseur de 6 ; 1881792/24 = 117612, 1881792/34 = 23232, 1881792/64= 1452 et aucun de ces nombres n’est une puissance quatrième à 1 près.
Sin= 3,rest un diviseur de 12 ; 1881792/23= 235224, 1881792/33 = 69696, 1881792/43 = 29403, 1881792/63 = 8712, 1881792/123 = 1089 et aucun de ces nombres n’est un cube à 1 près.
La solution n = 5, r = 6, d = 18 est donc unique, et il y a un sommet du pentagone entreO etP.
