D238 – A la recherche du polygone régulier [*** à la main]
Solution
Comme AB = BC = CD (1), le polygone ABCD est un trapèze isocèle dont les diagonales AC et BD sont égales. Construisons les points G et F sur la circonférence du cercle de centre O symétriques respectivement des points B et C par rapport au rayon OA. Le polygone ABFG est un trapèze isocèle identique à ABCD.
On a donc les égalités : AD = BF (2) et AF = AC (3).
Le théorème de Ptolémée appliqué au quadrilatère ABCF qui est inscrit dans le cercle donne la relation : AB*CF + AF*BC = AC*BF (4).
A partir des relations (1), (2) et (3), la relation (4) s’écrit AB*CF + AC*AB = AC*AD (5) Or par hypothèse
AD 1 AC
1 AB
1 ou encore AC*AD = AB*AD + AB*AC (6).
En comparant (5) et (6), on en déduit AD = CF. Si on appelle a l’angle qui sous-tend la corde AB vue du centre O, la corde AD sous-tend un angle égal à 3a d’un côté et 2 - 3a de l’autre.
La corde CF sous-tend un angle 4a d’un côté et 2 - 4a de l’autre. L’égalité des deux cordes entraîne la seule égalité possible 3a = 2 - 4a qui équivaut à 4a = 2 - 3a. Il en résulte que a
= 7
2 et les points A, B, C et D sont quatre des sommets d’un heptagone.