D238. A la recherche du polygone régulier
Posons 2α=AOBd =BOCd =COD,d oùO est le centre du cercle circonscrit de rayonR.
D’après le théorème de l’angle inscrit, de l’angle au centre, et la loi des sinus, nous avons alorsAB= 2Rsinα, AC= 2Rsin 2αetAD= 2Rsin 3α.Ainsi, la re- lation s’écritsin1α =sin 2α1 +sin 3α1 ou encore sin 2α(sin 3α−sinα) = sinαsin 3α.
Or, sin (2α+α)−sin (2α−α) = 2 sinαcos 2α, et la relation se simplifie en sin 4α= sin 3α,d’oùα≡0 ou 7α≡π(mod 2π). PuisqueAODd = 6α∈]0; 2π[, nous en déduisonsα∈
0;π3
et doncα= π7.
Enfin, 2α= 2π7 est bien de la forme 2kπn oùkest un entier strictement positif, ce qui prouve queA, B, C et D sont les sommets d’un polygone régulier àn= 7k côtés, le plus petit possible étant donc un heptagone.
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